geometria

Jaime, A.; Gutiérrez, A. (1990): Una propuesta de fundamentación
para la enseñanza de la geometría: El modelo de van Hiele, en S. Llinares,
M.V. Sánchez (eds.), Teoría y práctica en educación matemática (Alfar:
Sevilla, Spain), pp. 295-384 (fragmentos).

2.- ¿En qué consiste el modelo de Van Hiele?
Una conversación con profesores de matemáticas de Enseñanza Elemental o Media pondrá derelieve inmediatamente la existencia de un
sentimiento de impotencia por parte de muchos profesores frente al progreso realizado por una parte más o menos importante de sus alumnos
durante el curso. Los profesores se lamentan de una serie de problemas
como los siguientes: Muchas veces no hay manera de conseguir que los
estudiantes comprendan algún concepto nuevo; otras veces parece que
éstos “sesaben” los conceptos o propiedades que el profesor les acaba de
introducir, pero sólo son capaces de usarlos en ejemplos idénticos a los
resueltos con la ayuda del profesor; también ocurre, especialmente en
Enseñanza Media, que los estudiantes pueden resolver problemas concretos con bastante habilidad, pero carecen de ideas cuando deben resolver
esos mismos problemas planteados en un contextoalgo diferente, abstracto o más formalizado; otra situación típica de las clases de matemáticas es
la de los estudiantes que tienen que recurrir a memorizar. las demostraciones de los teoremas o las formas de resolver los problemas, pues es la
única forma legal que tienen de aprobar los exámenes.
Las reflexiones anteriores no están originadas por un problema reciente, ni tampoco son particularesde los profesores españoles, aunque sí son
usuales en cierto estilo de profesores: Aquéllos que se preocupan de que
sus alumnos razonen sobre lo que están haciendo, de que comprendan el
significado y la utilidad de las matemáticas y de que lleguen a ser capaces
de resolver problemas diferentes de los ya conocidos. Por el contrario, no
es nada frecuente oir los lamentos anteriores aprofesores cuyo único
objetivo es hacer que sus alumnos memoricen las definiciones, las fórmulas y los enunciados y demostraciones de los teoremas.
Hace cerca de 40 años, la preocupación ante este problema experimentada por dos profesores holandeses, que daban clase de matemáticas en
Enseñanza Media, les indujo a estudiar a fondo la situación para tratar de
encontrarle alguna solución. Estos profesoresson Pierre Marie Van Hiele
y Dina Van Hiele-Geldof; leamos cómo explica el propio P.M. Van Hiele
el surgimiento de su interés por este tema (Van Hiele [1986], p. 39):
“Cuando empecé mi carrera como profesor de matemáticas, pronto me
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di cuenta de que era una profesión difícil. Había partes de la materia en
cuestión que yo podía explicar y explicar, y aún así los alumnos no
entendían.Podía ver que ellos lo intentaban realmente, pero no tenían
éxito. Especialmente al comienzo de la geometría, cuando había que demostrar cosas muy simples, podía ver que ellos daban el máximo de sí,
pero la materia parecía ser demasiado difícil. Pero debido a que yo era un
profesor inexperto, también tenía que considerar la posibilidad de que yo
fuera un mal profesor. Y esta última ydesagradable posibilidad se afirmaba por lo que ocurría posteriormente: De pronto parecía que comprendían
la materia en cuestión. Podían hablar de ella con bastante sentido y a
menudo decían: “No es tan difícil, pero ¿por qué nos lo explicó usted de
forma tan complicada?” En los años que siguieron cambié mi explicación
muchas veces, pero las dificultades se mantenían. Parecía como si siempre estuvierahablando en una lengua distinta. Y considerando esta idea
descubrí la solución, los diferentes niveles del pensamiento.”
Si recordamos la primera sección de este capítulo, podemos reconocer
en el párrafo anterior un resumen del fenómeno educativo que dio lugar al
modelo de razonamiento de Van Hiele (ver figura 2): Un profesor se
siente preocupado por la similitud en la manera de trabajar y...