geometria

Ejercicio 1: Ecuación de la recta tangente a una parábola:

Sea la parábola y sea A el punto de la parábola de abscisa 0.
a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola en el puntoA.
b) ¿En qué punto de la parábola la recta tangente es perpendicular a la recta que ha encontrado en el apartado anterior?
Sol:

Bueno, en a:

Te pide que encuentres la recta tangente a laparábola en el punto A.

El punto A es cuando la abscisa de la parábola es 0. (Abscisa eje horizontal, o sea x=0).



con x = 0:



O sea el punto A pasa a ser:



Después tienes que encontrarla derivada en ese punto, muy fácil.. o haces el limite o aplicas la tabla.

En este caso:



Y sabiendo que la ecuación de la recta tangente a una función es:



En x = 0 tenemos la rectatangente pedida:


En el b:
Tienes que tener en cuenta dos cosas:

Teniendo una recta y=f(x) y m=g(x), su perpendicular, que es lo que las relaciona?

Bueno si y=f(x) = ax+b

y si m=g(x) =cx+d

Al ser perpendiculares:

c=-1/a

O sea la pendiente de la recta perpendicular es la inversa a la pendiente de la recta y con el signo cambiado.

Luego, como la recta tangente queencontramos en el punto anterior tiene pendiente 1, la pendiente de la recta perpendicular a esta es -1.

Entonces tenemos que encontrar el punto de la derivada de y=f(x) que nos de -1

O sea esta:Entonces:



Suplantando en la parábola:



Entonces el punto requerido en b es:









Hallar la recta tangente de la parábola –X2+1 en el punto X=1/2.

La pendiente de latangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

tenemos la función
f(x) = -x² + 1

que con abscisa = 1/2
f(1/2) = -(1/2)² + 1
f(1/2) = -1/4 + 1
f(1/2) = 3/4el punto completo de tangencia es (1/2, 3/4)

derivamos
f´(x) = -2x

sustituimos x por la abscisa del punto
f´(1/2) = -2 (1/2)
f´(1/2) = -1

la pendiente de la tangente es -1
usamos:
y -...