Geometria

(3)

a) Teorema Euclides referente a la Altura
En todo triángulo rectángulo se cumple que:
• El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los
catetos sobre la hipotenusa.

hc2 = p[pic]q

[pic]

RECORDANDO LA DEMOSTRACIÓN TEO. EUCLIDES REFERIDO A LA ALTURA:
Aplicando elteorema particular de Pitágoras a los triángulos DBC y ADC se puede obtener las siguientes igualdades.
a2 = p2 + hc2

b2 = q2 + hc2

Sumando miembro a miembro la igualdad

(*) a2 + b2 = p2 + hc2 + q2 + hc2

Sabemos por definición que el triángulo ABC esrectángulo, entonces c2 = a2 + b2 por Teo. de Pitágoras

Por lo tanto de la expresión anterior (*) nos queda

c2 = p2 + q2 + 2hc2 y como c = p + q

entonces ( p + q)2 = p2 + q2 + 2hc2

p2 + 2pq + q2 = p2 + q2 + 2hc2 reduciendo términos nos queda

2pq = 2hc2 al simplificar, obtenemos que:p[pic]q = hc2 Es lo que queríamos demostrar



b) Teorema de Euclides referente a los Catetos (4)

• El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto
sobre la hipotenusa.

a2 = c[pic]p y b2 = c[pic]p

2. Demostrar que a2 = c[pic]p
Si aplicamos el Teorema de Pitágoras al triángulo DBC setiene que

a2 = hc2 + p2

y del teorema de Euclides referente a la altura se tiene que hc2 = p[pic]q, podemos escribir que

a2 = p[pic]q + p2

Si factorizamos la expresión anterior nos queda:

a2 = p(q + p) sabemos que c = p + q

Podemos deducir la igualdad deseadaa2 = p[pic]c Queda demostrado el Teorema

Actividad 1: Mediante un razonamiento similar al empleado anteriormente demuestre que b2 = c[pic]q

Actividad 2: Dada en la figura un triángulo ABC, rectángulo en C, CD altura: Aplique Teorema para resolver








Resuelve los siguientes ejercicios:
1. CD = 6 cm.; AD = 3 cm; área del triángulo ABC = ?

2. AD = 3,6cm.; BD = 6,4 cm.; AC = ?

3. BD = 3,2 m.; AB = 5 m.; BC = ?
4. AD = 2 cm.; BD = 4 cm.; CD = ?

5. AD = 16 cm.; AB = 52 cm.; CD = ?

6. AB = 12 cm.; AD = 9 cm.; BC = ?



7. El dueño de un terreno rectangular de 100 m de ancho por 250 m de largo desea construir su casa en uno de los vértices del terreno y, además, un puente sobre el río que cruza diagonalmente el terreno. ¿A quédistancia de su casa estará el puente si desea ubicarlo lo más cercano posible a esta?








Si no termina los ejercicios, debe traerlos resueltos de su casa para la clase siguiente, los que serán revisados.

PRIMERA GUIA PARA LOS ALUMNOS(AS) (1)
CONTENIDOS PREVIOS:
- Teorema de Pitágoras
- Factorización simple
- Reemplazo de expresiones y

•Teorema Euclides referente a la Altura
El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los
catetos sobre la hipotenusa (demostrado la clase anterior).

hc2 = p[pic]q

[pic]




Por demostrar Teorema Euclides (aplicando Teorema de Pitágoras)

a) Teorema de Euclides referente alos Catetos

El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto
sobre la hipotenusa.




a2 = c[pic]p y b2 = c[pic]p









RECORDANDO CONTENIDOS PREVIOS (2)

1. Teorema de Pitágoras B

c

a...