Geometria

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA METALURGICA

TEMA : ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL CICLOIDE Y DE LA HIPOCICLOIDE


CURSO : GEOMETRÍA ANALITICA



DOCENTE : DAVID ARTEAGA BLAS



INTEGRANTES :
* Campos Llanos, Edwin

* Mejía Campos, Aderlin


Trujillo,31 de mayo de 2012

LA CICLOIDE

Sea P un punto cuya posición sea fija con relación a una curva C. Si la curva C rueda, sin resbalar, sobre una curva fija C', el lugar geométrico descrito por el punto P se llama ruleta.

Un caso importante de ruleta es la curva llamada cicloide. Una cicloide es el lugar geométrico descrito por cualquier punto fijo de una circunferencia que rueda, sinresbalar, sobre una recta fija.

Deduciremos las ecuaciones paramétricas de la cicloide tomando la recta fija como eje X y una de las posiciones del punto móvil sobre el eje X como origen. Sea P(x, y) un punto cualquiera del lugar geométrico, o el radio y C el centro de la circunferencia que rueda, como se indica en la figura 129. Tomaremos como parámetro el ángulo θ que gira la circunferencia al rodarpartiendo de su posición inicial en el origen. Sean A y B, respectivamente, los pies de las perpendiculares bajadas de P y C al eje X. Tracemos PD perpendicular a BC



(fig.1)

Como la circunferencia rueda, sin resbalar, desde O hasta B,
tenemos

OB=arco PB

Si θ se mide en radianes, tenemos

Arco PB=aθ

Por tanto, de lafigura 1,

x=OA=OB-AB=aθ-PD=aθ-a senθ,
y=AP=BD=BC-DC=a-a cosθ,

De manera que las ecuaciones paramétricas de la cicloide son

x= a(θ-sinθ), y = a(1-cosθ) (1)

Por el método empleado en el ejemplo del Artículo 91, podemos
demostrar que la ecuación rectangular de la cicloide (1) es

x = arc cosa-ya=2ay-y2, (2)

Donde debe tomarse el signo positivo o el negativo según que 6menor o mayor que π radianes en el arco comprendido entre θ=0 y θ=2π.

El punto medio' H de cualquier arco de la cicloide se llama vértice del arco. Aquella porción OE de la recta fija comprendida entre los puntos extremos de un arco se llama base del arco; su longitud es, evidentemente, igual a 2π, que es la longitud de la circunferencia generatriz. Cada extremo de un arco, tal como O y E,se llama pico o cúspide.

A la cicloide también se le da a veces el nombre de braquistocrona o curva del más rápido descenso, porque, si se invierte la curva de la figura 1. Se puede demostrar que es el recorrido descrito por una partícula que cae desde un punto dado a otro en el intervalo de tiempo mínimo. Además, si se sueltan dos partículas simultáneamente desde dos puntos cualesquiera delarco invertido de una cicloide, llegarán ambas al punto más bajo (el vértice) al mismo tiempo.

La cicloide es un caso especial de la ruleta conocida con el nombre de trocoide, que es el lugar geométrico descrito por un punto de un radio fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta. Si el punto generador P(x,y) está a una distancia b del centro del círculo rodante de radioa, si una posición del radio fijo es a lo largo del eje X, y si la recta fija se toma como el eje X, puede demostrarse que las ecuaciones paramétricas de la trocoide son

x = aθ-bsinθ, y=a-bcosθ (3)

Se dice de la trocoide que es una cicloide acortada o alargada según que

ba

Para b=a, las ecuaciones (3) se reducen a las ecuaciones paramétricas (1) de la cicloide.
EPICICLOIDEE HIPOCICLOIDE.

Ahora consideremos dos tipos de ruletas que difieren de la cicloide en que la curva fija es una circunferencia en vez de una recta. Estas curvas, llamadas

(fig.2)

Epicicloide e hipocicloide, son importantes en el diseño de dientes de engranajes.

Una epicicloide es el lugar geométrico descrito por un...