Geometría analítica

De la siguiente elipse determine:

Primero debemos dejar la ecuación de la forma para lo cual hacemos lo siguiente:



Tenemos que completar el trinomio cuadrado perfecto para la parte de la Y, por lo tanto sumamos y restamos 25 para no dañar la ecuación.



Ahora factorizamos el 25 en los tres términos de la ecuación que formaran el trinomio cuadrado perfecto:



Ahorafactorizamos el trinomio cuadrado perfecto:



Pasamos el -25 al otro lado de la igualdad y nos queda:



Dividimos todos los términos de la igualdad entre 100 y obtenemos ahora si la ecuación que queríamos para extraer los datos que nos piden de una manera más fácil.



a. Centro

De la ecuación podemos ver que el centro de la elipse es (0, 1) ya que en el termino de x esta soloelevado al cuadrado y el termino de y esta acompañado de un k = 1, por esto determinamos que el centro es (0, 1).
b. Focos



Entonces tenemos que a =  a = 5

Entonces tenemos que b =  b = 2

Para hallar el foco utilizaremos la ecuación



Entonces tenemos que los focos son: ( , 1) y (- , 1)

c. Vértices

Vértice Mayor

Entonces para el vértice mayor tenemos que a = ± 5,por lo cual sabemos que los vértices mayores son:

V = (5, 1) y V’ = (-5, 1)

Vértice Menor

Entonces para el vértice menor tenemos que b = ± 2, por lo cual sabemos que los vértices menores son:

u = (0, 2) y u’ = (0, -2), pero como la elipse no tiene origen en (0, 0), entonces tenemos que sumar o restar según sea el caso las coordenadas del centro. Entonces quedaría u = (0, 2+1) y u’ =(0, -2+ 1); u = (0, 3) y u’ = (0, -1).

d. Eje menor y eje mayor

Eje Mayor = 2a  2(5)  10

Eje Menor = 2b  2(2)  4

e. Gráfica



PUNTO 2
Analice la siguiente hipérbola y determine:
Primero debemos dejar la ecuación de la forma para lo cual hacemos lo siguiente:


Debemos sumar dos términos independientes y para conservar la igualdad también debemos restarlos, estostérminos no servirán para completar dos trinomios cuadrados perfectos uno con las x y otro con las y.



Ahora agrupamos para obtener dos trinomios cuadrados perfectos:






a. Centro

Como sabemos que el centro es (h, k), entonces vemos que h es 3 y que k es -3 por que son los valores que están acompañando a x u y respectivamente. Entonces decimos que el centro es (3, -3).

b.Focos

El foco se haya a través de la formula:



También podemos expresar esta expresión de otra forma:



Como sabemos por la ecuación que los focos están sobre el eje x; entonces decimos que los focos son: ( , -3) y (- , -3), y sumamos las coordenadas de x en el centro para poder determinar cuales son los focos realmente. Entonces ( + 3, -3) y (- + 3, -3). Que seríaaproximadamente (6.464102, -3) y (-0.464102, -3)

c. Vértices




Entonces como los focos están sobre el eje x usamos el valor de a únicamente, y sumamos el valor del centro en x para sumarlo al valor de a, entonces decimos que los vértices son: (2 + 3, -3) y (-2 + 3, -3), lo cual es igual a (5, -3) y (1, -3).

d. Asíntotas

Como la ecuación no tiene centro en el origen y sabemos quelos focos están sobre el eje x. usamos la siguiente ecuación, una con mas y la otra con menos:



Resolviendo la ecuación tenemos que las dos asíntotas están dadas por las siguientes ecuaciones:



Separamos las dos ecuaciones y tenemos:



e. Gráfica



PUNTO 3
3. Analice la siguiente ecuación y determine:

Entonces primero tenemos que formar los dos trinomios cuadradosperfectos entonces sumamos dos y restamos dos, pero de tal forma que nos quede de la siguiente manera: 1 + 1 – 2.







a. Centro

Como el centro es (h, k), entonces deducimos de la ecuación que el centro de la circunferencia es (1, -1).

b. Radio

El radio es igual a , entonces podemos decir que el radio es igual a 2.

c. Gráfica


PUNTO 4

Determine de la...