Geometría Analítica

Vectores en el plano

Un vector, , es un segmento con una dirección que va del punto A (origen) al punto B (extremo).
Un vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).
Todo vector se compone de un módulo, una dirección y un sentido.
Dirección de un vector
Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
Sentido deun vector
El sentido del vector  es que va del origen A al extremo B.
Módulo de un vector
El módulo del vector  longitud del segmento AB, se representa por .
El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.

Módulo a partir de las coordenadas de los puntos.

Ejercicios

Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector = (k, 3) es 5.

Vectores y coordenadasCoordenadas de un vector

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:
Las coordenadas del vector  son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Ejemplos

Calcular las coordenadas de un vector cuyos extremos son:

Un vector  tienen de coordenadas (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremo B(12, −3).

Punto medio de un segmento
 
Ejemplo
Calcularlas coordenadas del punto medio del segmento AB.

Tres puntos alineados
Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los vectores  tengan la misma dirección. Es decir si sus coordenadas son proporcionales.

Ejemplo
Hallar el valor de a para que los puntos estén alineados.

Simétrico de un punto
Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el puntomedio del segmento AA'.

Calcular el simétrico del punto A (7, 4) respecto de M(3, −11).
Ejemplo

Baricentro
Las coordenadas del baricentro son:

Ejemplo
Dados los vértices de un triángulo A(-3, -2), B(7, 1) y C(2, 7), calcular las coordenadas del baricentro.

División de un segmento
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la rectaque contieneal segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en una relación r:
Ejemplo
Calcular los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?

Ejercicios
1. Dados los vértices de un triángulo A(1, 2), B(-3, 4) y C(-1, 3), hallar lascoordenadas del baricentro.

2. Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, −2) es el punto medio de AC, A(−3,1).

3. Averiguar si están alineados los puntos: A (- 2, - 3), B (1, 0) y C(6, 5).

4. Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, - 1) y B(8, - 4). Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es la mitad de CB.

5. Si el segmento AB de extremos A(1,3), B(7, 5), se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas delos puntos de división?

6. Hallar el simétrico del punto A(4, -2) respecto de M(2, 6).

7. Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3, 0), calcular el tercer vértice.

8. Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera que se obtenga 

Suma analítica y gráfica de vectores

Suma gráfica de vectores
Para sumar dosvectores libres  y  se toman como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.
Regla del paralelogramo
Se toman como representantes dos vectores concurrentes, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose unparalelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Suma analítica de vectores
En la suma analítica de vectores se suman susrespectivas componentes.

Resta de vectores
Para restar dos vectores libres  y  se suma  con el opuesto de .

Ejemplo

Multiplicación de un escalar por un vector
La multiplicación de un número k por un vector  es otro vector:
Con igual dirección que el vector .
Con el mismo sentido que el vector  si k es positivo.
Con sentido contrario del vector  si k es negativo.
De módulo ...