Geometría diferencial

[pic]Geometría Diferencial I
Repaso General sobre la Ecuación de la Recta y el Plano

Sea [pic][pic] la ecuación de una Superficie en Coordenadas Cartesianas, también podemos definirla en Paramétricas mediante dos parámetros:
[pic]
o por su ecuación vectorial:
[pic]
Si a la ecuación de la Superficie le falta una variable, tendremos un Cilindro de Generatrices paralelas al eje quedefine dicha variable, es decir, en el espacio la ecuación [pic] es un Cilindro de Generatrices paralelas la eje OZ.
Si la ecuación de la Superficie es lineal en las variables, tendremos un plano.

Curvas.
Una curva en el espacio se define como la intersección de dos superficies.
[pic]
La curva puede expresarse también en Paramétricas dependientes de un parámetro
[pic]
ecuación paramétricaque equivale a la ecuación vectorial de la curva:
[pic]

Diferentes formas de la Ecuación de una Recta.
En general la ecuación de la recta viene definida por dos planos:
[pic]
y su vector director será perpendicular a cada uno de los vectores característicos de los planos es decir [pic] y [pic]por lo tanto se verificará que
el vector característico de la recta será el producto vectorial delos vectores característicos de los planos y por tanto el vector característico de la recta será el resultado de desarrollar el determinante:
[pic]

Ecuación de una Recta definida por dos Planos Proyectantes sobre los Planos XZ e YZ.
Sea la recta definida por los planos [pic]. Su vector de dirección: será

[pic]
Recta que pasando por un Punto es paralela a una Dirección.
Sea elvector [pic] [pic] y el punto[pic]. La recta que pasa por P y es paralela a [pic] será: [pic][pic]
donde a ,b y c son proporcionales al los cosenos directores o cosenos de los ángulos que forma la dirección de la recta con los Ejes Coordenados:
[pic]
[pic]
Por lo que:
[pic]

Expresión Vectorial de una Recta.
Sea un puntofijo[pic] de una recta, su radio vector será [pic].
Sea [pic]el extremo del vector dirección de la recta, [pic]

El radio vector del punto[pic]describirá la recta:
[pic]

[pic]

Expresión Vectorial del Plano.
Supongamos el plano definido por un punto del plano [pic]y su dirección, un vector [pic] perpendicular alplano.
Determinemos la ecuación del plano como definida por un radio vector de un punto genérico [pic] del plano, [pic]. Se verificará [pic] y por tanto el producto escalar será nulo. La expresión de la ecuación vectorial será [pic][pic]

Triedro Intrínseco
Tangente a una Curva.
Sea [pic], una curva, se define como tangente a la curva en un punto [pic]
al límitede la cuerda [pic] cuando [pic] tiende a [pic] a lo largo de la curva.
El vector [pic] tiene la misma dirección que el vector [pic], luego tomando límites se tendrá
[pic]
y por lo tanto [pic] tendrá la misma dirección que la tangente, es decir, si [pic] es el vector unitario en la dirección de latangente, se tendrá:

[pic]
Si tomamos ahora un punto[pic] , genérico, sobre la tangente de coordenadas [pic], su radio vector
será [pic][pic] verificándose [pic] o bien desarrollando:
[pic]
Que es la ecuación de la recta tangente a la curva [pic] en el punto [pic].
Por otra parte como [pic] tiene la dirección de la tangente y [pic]también, se tiene que verificar que su producto vectorial será cero y la expresión que define esta propiedad será la Ecuación Vectorial de la Tangente:
[pic]
Sea [pic]el vector unitario tangente, sea [pic] y [pic]
el elemento diferencial de arco. El cociente:
[pic]
será así mismo un vector en la dirección de la tangente y su módulo será:
[pic]
Por lo que [pic] será el Vector Unitario...