Gestion empresarial apuntes unidad 2

UNIDAD II

Fundamentos de Probabilidad

2.1 Introducción a la teoría de Probabilidad (ver figura 2.1)

Philipp Cantor Padre de la “Teoría de los Conjuntos”.

Rama de las matemáticas a las que el matemático Georg Ferdinand Ludwing dió su primer tratamiento formal en 1870.

El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas; incluso más que la operación de contar,pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas.

En su forma explícita los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.

En el año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la Teoríade Conjuntos.

Figura 2.1

Al considerar dos conjuntos, puede suceder que “A” sea un subconjunto de “B”, lo cual se denota como:

Hay dos formas de determinar conjuntos:

1) Por extensión o forma tabular: se dice que un conjunto es determinado por extensión cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.

Ejemplos:

A= a, e i , o u

B =0, 2, 4, 6, 8
Nota: en un conjunto determinado no se repite un mismo elemento.

2) Por comprensión o forma constructiva: se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.

Ejemplos:

A = x/x es una vocal

B = x/x es un número menor que 10C = x/x es una letra de la palabra conjuntos

2.1.1 Operaciones con conjuntos
1. El complemento de A (con respecto al conjunto universo (U) es el conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen al conjunto “A”.

2. Intersección de A y B. Es el conjunto de elementos que pertenecen tanto al conjunto “A” como al conjunto “B”.

3. Unión de A y B es el conjuntode elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.

Ejemplo 2.1
Sea:
U el conjunto de letras del alfabeto
A el conjunto de las vocales
B el conjunto formado por a, b, c

Determinar:

A', B', AB y AB

Solución:

A' = { x / x es una constante}
B' = {d, e, f , g, h, ....., z}
AB = {a, b, c, e, i, o, u}
A B = {a}

Ejemplo 2.2 Sea:
U el conjunto de losmeses del año
A el conjunto de los meses en número par
B el conjunto formado por marzo, abril, mayo, junio y agosto

Determinar:

Solución:

2.1.2 Leyes importantes correspondientes a conjuntos

Leyes de identidad:


Leyes de ídem potencia:


Leyes de complemento:


Leyes conmutativas:


Leyes de Morgan:


Leyes asociativas:


Leyes distributivas:


Ejemplo 2.3En la ciudad de Cuauhtémoc se realizó un estudio de 100 personas para conocer que tipo de refresco consumen, proporcionando los siguientes datos: 41 refresco de embase plástico, 29 refresco de lata, 26 refresco de embase de vidrio, 15 plástico y lata, 8 lata y vidrio, 19 plástico y vidrio, 5 consumen los tres tipos.

a) El número de personas que no consumen ningún refresco.
b) Personas queúnicamente consumen de un tipo de refresco.

Respuesta:
a)


Según la figura 2 tenemos:

P
V
L
U
12
11
4
10
5
3
14
41

Figura 2.2

Como podemos analizar en la figura 2.2, el número de personas que no consumen ningún tipo de refrescos es de 41.

b) El número de personas que consumen sólo un tipo de refrescos es de 27

Conjuntos finitos e infinitos

Un conjunto esfinito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar.

En caso contrario, el conjunto es infinito.

Ejemplos:

M = x/ x es un río de la tierra Conjunto finito

N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8… Conjunto...