gráficas de funciones polinomiales

Ing. Luis Ernesto Aguilar 1
Función Polinómica
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE
PEM EN MATEMÁTICA Y FÍSICA
MATEMÁTICA II
SECCIÓN A, B y C
Ing. Luis Ernesto Aguilar
FUNCIONES POLINOMIALES
Una función polinómica es una función que está expresada mediante un polinomio, así de
esta forma las siguientes funciones son polinomiales:
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 3‫ ݔ‬ହ − 5‫ݔ‬ଷ + ‫ ݔ‬ଶ − ‫2 + ݔ‬
݃ሺ‫ݔ‬ሻ = −5‫ ݔ‬ଶ + 5‫3 − ݔ‬
ℎሺ‫ݔ‬ሻ = ‫2 + ଼ ݔ‬
El objetivo de este tema es poder realizar un esbozo de la gráfica de la función de acuerdo a
la información que esta pueda brindar:
Grado de un polinomio: el grado de una función polinómica es el mayor exponente que en esta
función exista, de esto entonces los grados de las funciones ݂, ݃ y ℎ son respectivamente5, 2 y8.Coeficiente principal: el coeficiente principal es el coeficiente del término que posea la mayor
potencia en una función polinómica, los coeficientes principales en las funciones ݂, ݃ y ℎ son
respectivamente3, −5 y1.
Término independiente: el término independiente en una función polinómica es el valor numérico
que no posee variable, entonces los términos independientes en las funciones ݂, ݃ yℎ son
respectivamente2, −3 y2.
Raíces de un polinomio: la raíz de un polinomio geométricamente indica el valor en el cual la gráfica
de la función intersecta el eje ‫.ݔ‬
Las raíces de un polinomio pueden encontrarse si el polinomio puede factorizarse, cada factor
real proporciona un intersecto en el eje ‫ .ݔ‬El comportamiento de una raíz de un polinomio queda
definido mediante el exponente queel factor posea:
TEOREMA DE LA MULTIPLICIDAD DE FACTORES (TABLA 1)
Sea

Sea
ሺ࢞ − ࢇሻ࢔ un factor del polinomio ࡼሺ࢞ሻ

ሺ࢞ − ࢇሻ࢔ un factor del polinomio ࡼሺ࢞ሻ

Entonces

Entonces

Si ࢔ es impar, la gráfica del ࡼሺ࢞ሻ cruza el eje ࢞ en
el valor ࢇ, y se dice que la multiplicidad del factor es
impar.

Si ࢔ es par, la gráfica del ࡼሺ࢞ሻ toca y no cruza el
eje ࢞ en el valor ࢇ, y se dice que lamultiplicidad del
factor es par.

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Función Polinómica
COMPORTAMIENTO DE FUNCIONES DE ACUERDO AL GRADO Y COEFICIENTE PRINCIPAL
(TABLA 2)
Grado impar y coeficiente principal positivo:

Grado par y coeficiente principal positivo:

Grado impar y coeficiente principal negativo:

Grado par y coeficiente principal negativo:

En la tabla anterior se deja elespacio libre entre los extremos porque puede tener un comportamiento
distinto de acuerdo a las raíces que pueda tener.
Ejemplo 1:
Obtenga el esbozo de la gráfica de las siguientes funciones polinomiales utilizando las tablas
anteriores:
a) ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ሺ‫3 − ݔ‬ሻሺ‫2 + ݔ‬ሻ
b) ܲሺ‫ݔ‬ሻ = ሺ‫3 − ݔ‬ሻଶ ሺ‫1 + ݔ‬ሻଶ
Solución:
a) Se tienen 3 factores, cada uno con exponente 1, por lo tanto la gráfica dela función cruzará
el eje ‫ ݔ‬en los valores ‫ 3 = ݔ ,0 = ݔ‬y ‫ .2− = ݔ‬El grado del polinomio es 3, por lo tanto
tendrá extremos contrarios y el coeficiente principal es positivo, de esto, la gráfica será
aproximadamente:

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Función Polinómica

b) La función cuenta con 4 raíces, 2 repetidas, que son: ‫ 1− = ݔ ,3 = ݔ ,3 = ݔ‬y ‫1− = ݔ‬
entonces por tenerexponente par, los factores indican que la gráfica no cruza el eje ‫ ݔ‬sino
solo lo toca. Tiene grado 4 y el coeficiente principal será positivo, de esto, los dos extremos
de la función se encuentran hacia arriba, la gráfica es:

Ejemplo 2:
Obtenga la gráfica de la siguiente función polinómica, utilizando la información de la tabla 1 y tabla
2, factorice para localizar los ceros de la función:ܲሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ ݔ‬ଷ + 3‫ ݔ‬ଶ − 4‫21 − ݔ‬

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Función Polinómica
Solución:
Al factorizar la función se tiene que:
ܲሺ‫ݔ‬ሻ = ሺ‫ ݔ‬ଷ + 3‫ ݔ‬ଶ ሻ − ሺ4‫21 + ݔ‬ሻ
ܲሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ ݔ‬ଶ ሺ‫3 + ݔ‬ሻ − 4ሺ‫3 + ݔ‬ሻ
ܲሺ‫ݔ‬ሻ = ሺ‫3 + ݔ‬ሻሺ‫ ݔ‬ଶ − 4ሻ
ܲሺ‫ݔ‬ሻ = ሺ‫3 + ݔ‬ሻሺ‫2 + ݔ‬ሻሺ‫2 − ݔ‬ሻ
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El polinomio tiene grado 3, por lo tanto extremos en dirección contraria.
El polinomio tiene...