Gradiente Aritmetico

INTRODUCCION

En el siguiente trabajó podemos ver, cuando en un diagrama de flujo efectivo se presenta una pendiente uniforme ascendiente o descendiente, incrementos y decrementos para cada periodo esto se traduce como ingresos o egresos lo cuales pueden ser a nivel aritmético y geométrico. En base de sus formulas ya pactadas podemos determinar el gradiente que a continuación lo explicamos.GRADIENTE ARITMETICO (G)
También conocido como gradiente uniforme. Es una serie de flujos de caja (desembolso o ingreso) que aumenta o disminuye de forma uniforme para un periodo de tiempo. El aumento o la disminución es lo que se conoce como gradiente.
Para la solución de un gradiente aritmético cabe resaltar que el primer flujo de la series debe encontrarse al final del periodo 1 y noinvolucra un gradiente, sino un pago base.
El valor de G puede ser positivo o negativo. Si omitimos el pago base, y se podría construir un diagrama generalizado de flujo de caja de gradiente creciente uniforme como se muestra en la figura 1.


Figura1. Serie de gradiente uniforme omitiendo el pago base

Determinación del presente de la serie gradiente aritmético:
F: valor futuro
i: tasa deinterés.
P: valor presente
G: gradiente aritmético
A: magnitud ó cantidad

(1)

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por (1+i)
(2)
Restamos la ecuaciones (2) menos (1),

Despejamos,


La expresión que se encuentra en llaves es el valor presente de una serie gradiente uniforme de 1 a n años.

Factorizamos, y definimos la ecuación para conseguir el valor presenteequivalente de un gradiente aritmético conocido como:

Como P = F / (1+i)n :

Despejamos F, pasando (1+i)n al otro lado de la ecuación, se determina la fórmula para obtener el valor futuro equivalente de un gradiente aritmético y obtenemos:

Como :


Desarrollando,


Por lo que una anualidad A dado un gradiente G, es:

En el momento que se determina el valor presenteequivalente o valor anual equivalente de una serie de flujos con gradiente uniforme, cabe recordar que el primer flujo de la serie se encuentra al final del período y no involucra un gradiente, sino un pago base; por lo que:

P = PA + PG P = PA - PG P = - PA – PG P = - PA + PG
A = A1 + AG A = A1 - AG A = - A1 – AG A = - A1 + AG
Ejemplo
Una persona deposita en unacuenta de ahorros una cantidad anual que va disminuyendo a una cantidad constante de $ 500 por año. La magnitud del primer depósito que se hace es de $20,000 y el último de $ 5,500. Si en la cuenta de ahorros se gana un 15% anual ¿de que magnitud debe ser un deposito anual constante durante el mismo tiempo para que el monto acumulado sea el mismo?

G= 500 n= 10
A1=10,000A=-A1+AG
i= 15%


A = - 8,308.40

GRADIENTES GEOMÉTRICOS
La otra modalidad de gradiente, es precisamente el gradiente geométrico (Gg) o serie de cuotas (rentas) periódicas ó flujos de caja que aumenta o disminuye en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago, en vez de aumentos constantes de dinero. Los flujos de efectivo (cuotas) cambian en el mismo porcentaje entre cadaperíodo. A esto se le llama gradiente geométrico. La notación que utilizaremos:
El gradiente (Gg) es el porcentaje que aumenta o disminuye cada cuota (puede ser positivo o negativo). * Rp1: es la cuota periódica 1. * La representación i/m, se refiere a la tasa nominal capitalizable y la frecuencia de los pagos. * n: tiempo-plazo en años (número de cuotas periódicas)
Para conocer el valoractual y valor futuro, las fórmulas a utilizar son distintas dependiendo si la razón de la progresión (Gg) coincide con el factor (1+i/m)
Ejemplo: Supongamos que se desea conocer el monto acumulado de un fondo de inversión constituido por 10 depósitos mensuales que crecen a una tasa del Gg: 5.5% siendo el importe del primer depósito $1,000.00.
De la fórmula: Donde: Rp1 = $1000.00 Gg = 5.5% n =...