Granville

CALCULO DIFERENCIAL
punto de unión con la línea recta, y la curvatura de la vía circular donde se une con esta. Por lo general se emplean arcos de parábolas cubicas como curvas de transición.

EJEMPLO. Una curva de transición es una vía de ferrocarril tiene la forma de una arco de la parábola cubica ¿A razón de cuantos radianes por kilometro cambia en un vagón en esa vía su dirección(1KM= Unidad de longitud) cuando pasa: a) por el punto (3,9); b) por el punto (2, ) y c) por el punto (1, ½) ?
SOLUCION.
Sustituyendo en

a) En (3,9) K= radianes por KM =28 por km
b) En (2,) K= radianes por km= 3º 16 por Km
c)En (1, ½ )K radianes por KM=40º 30’ por Km
107. CIRCULO DE CURVATURA consideremos un punto cualquiera en la curva C la tangente en la curva P tiene lamisma pendiente en la curva P. De manera análoga, podemos construir, para cada punto de la curva, un circulo tangente cuya curvatura sea igual a la curvatura de la curva dada, en ese punto. Para esto, tracese la normal a la curva en p hacia el lado cóncavo de la curva. Midase en esa normal la distancia Pc= radio de curvatura (=R) en P. con c como centro, tracese el circulo que pase por P. Lacurvatura de ese circulo es K= , que también es la curvatura de la curva dada en el punto P. El asi construido se llama circulo de curvatura en el punto P de la curva.
En general, el circulo de curvatura de una curva en un punto cortara a la curva en ese punto, tal como se indica en la figura 83 (Comparese con la tanfente en un punto de inflexión, que cimo en el articulo 57)
Asi como la tangente en Pnos da la dirección de la curva en P, asi el circulo de curvatura en P nos ayuda notablemente a formarnos un concepto geométrico de la curvatura de la curva en P, puesto que la razón de la variación de la dirección de la curva y del circulo son idénticas en P.
Mas adelante (Art. 114) de definirá el circulo de curvatura como la posicon limite de un curculo secante. Esa definición es análoga a laque se dio en el articulo 28 para la tangente.

EJEMPLO 1. Hallar el radio de curvatura en el punto (3,4) de la hipérbola equilátera (fig. 84) y trazar el círculo de curvatura correspondiente.

Solución.

El circulo de curvatura corta a la curva en dos puntos.
EJEMPLO 2. Hallar el valor de R correspondiente al punto (2,1) de la hipérbola

Solucion. Derivando considenrando Y como unafunción implícita de X obtenemos

Derivando otra vez, considerando Y y Y’ obtenemos

Sustituyendo los valores dados x=2, y=1, hallamos y’=-2, y’’=
De esto según (F) R=
El método de este ejemplo (a saber considerar Y y Y’ como funciones implícitas de x) se emplea muchas veces con ventaja cuando se piden solo los valores numéricos de y’ y y’’ y no expresiones generales de esras dericadas entérminos de X y Y

PROBLEMAS
Hallar el radio de curvatura en cada una de las siguientes curvas en el punto indicaco. Trazar la curva y el circulo de curvatura correspondiente.
1. Sol. R= 1
2. R=
CALCULO DIFERENCIAL
3. Sol. R=
4. R= 1
5.R=2
6. 7.
Calcular el radio de curvatura en un punto cualquiera (X1 y1) en cada una de las siguientes curvas:

18. si el punto de contacto de la línea tangente en (2,4) a la parábola se mueve sobre la curva a una distancia ¿Qué angulo aproximadamente girara la línea tangente? (Empléense diferenciales)
19. La inclinación de la curva 27 en el punto A (3,1) es 45ºEmpléense diferenciales para hallar aproximadamente la inclinación de la curva en el punto B. si la distancia a lo largo de la curva desde A hasta B es unidades.
Calcular el radio de curvatura en un punto cualquiera (Q1, O1) sobre cada una de las siguientes curvas.


CURVATURA

Hallar el radio de curvatura en cada una de las siguientes curvas en el punto indicado. Trazar la curva y el...