guía conicas

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

MLM1300. Geometr´
ıa
S´ptimo conjunto de problemas
e
C´nicas
o
Segundo semestre 2001

Nombre: .........................................................................Secci´n N
o

◦

: ......

1. Hallar la ecuaci´n de la par´bola cuyo v´rtice est´ en el origen sabiendo que ella es
o
ae
a
−→

sim´trica respecto del eje OY y pasa por el punto (1, 1).
e
2. Hallar la ecuaci´n de la par´bola de foco en el punto (2, 3) y de directriz la recta de
o
a
ecuaci´n x = 6.
o
3. Hallar la ecuaci´n de la par´bola de eje vertical, de foco en el punto (−1, 3) y que
o
a
pasa por el punto (3, 6).
4. Hallar la ecuaci´n de la par´bola de foco en el punto (3, −1), de directrizvertical y
o
a
v´rtice en la recta de ecuaci´n 7x + 3y − 4 = 0.
e
o
5. Hallar la ecuaci´n de la par´bola cuyo latus rectum mide 4, su directriz es la recta
o
a
de ecuaci´n x = −5 y cuyo foco est´ sobre la recta de ecuaci´n x + y − 2 = 0.
o
a
o
6. Hallar la ecuaci´n de la par´bola cuya directriz es vertical, de v´rtice en la recta de
o
a
e
ecuaci´n x − y − 2 = 0, con foco en la recta deecuaci´n x + y − 2 = 0 y que pasa por
o
o
el punto (9, 7).
7. Demostrar que el lugar geom´trico de los puntos cuya distancia a la recta de ecuaci´n
e
o
y = 1 es dos unidades menor que su distancia al punto (−2, −3) es la par´bola de
a
ecuaci´n (x + 2)2 = −12y.
o
8. Una circunferencia cuyo centro es el punto (4, −1) pasa por el foco de la par´bola de
a
ecuaci´n x2 = −16y. Demostrarque es tangente a la directriz de la par´bola.
o
a
9. Hallar la ecuaci´n de la circunferencia que pasa por el v´rtice y por los extremos del
o
e
latus rectum de la par´bola de ecuaci´n x2 = 4y.
a
o
10. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la par´bola de ecuaci´n x2 −
a
o
6x + 5y − 11 = 0 en el punto (−2, −1).
11. Determinar los puntos de intersecci´n de las dospar´bolas de ecuaciones y = x2 −
o
a
2x + 1, x = y 2 − 6y + 7 y verificar que son conc´
ıclicos.
12. Hallar la ecuaci´n de la recta que es tangente a la par´bola de ecuaci´n y 2 = 12x y
o
a
o
es paralela a la recta de ecuaci´n 3x − 2y + 3 = 0. Calcular la distancia entre la recta
o
tangente y la recta dada.

1

13. Para que valores de c, las rectas de ecuaciones x + 2y + c = 0, (i) cortana la par´bola
a
de ecuaci´n y 2 − 2x + 6y + 9 = 0; (ii) son tangentes a la par´bola, (iii) son exteriores
o
a
a la par´bola.
a
14. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto (1, 4) a la par´boa
la de ecuaci´n y 2 + 3x − 6y + 9 = 0.
o
15. Desde el punto (5, 9) se han trazado rectas tangentes a la par´bola de ecuaci´n y 2 =
a
o
5x. Hallar la ecuaci´n de lacuerda que une los puntos de tangencia.
o
16. Hallar la ecuaci´n de la elipse cuyos focos est´n en el eje de abscisas y son sim´tricos
o
a
e
con respecto al origen, si adem´s (i) su eje mayor es igual a 20 y su excentricidad
a
igual a 3/5; (ii) su eje menor es igual a 6 y la distancia entre sus directrices es igual
a 23.
17. Dada la elipse de ecuaci´n 9x2 + 25y 2 = 225, hallar sus semiejes,sus focos, su exceno
tricidad y las ecuaciones de las directrices.
18. Determinar la excentricidad de una elipse si su eje menor se ve bajo un ´ngulo de 60◦
a
desde uno de los focos.
19. La excentricidad de una elipse es 1/2, su centro es el origen y una de sus directrices
tiene ecuaci´n x = 16. Calcular la distancia desde el punto de la elipse cuya abscisa
o
es −4, al fococorrespondiente a la directriz dada.
20. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor contenido en la recta de ecuaci´n
o
3
o
2x − 3y = 0 si adem´s pasa por los puntos (3, 2) y 1, − . Hallar su ecuaci´n.
a
2
21. Hallar la ecuaci´n de la par´bola de eje horizontal y par´metro positivo cuyo latus
o
a
a
rectum coincide con el latus rectum derecho de la elipse de ecuaci´n 3x2 + 4y 2 = 12....