GUIA 01 FMM214 SEM 1

Gu´ıa 1.
Sucesiones y Series.

1. Analice el comportamiento de las siguientes sucesiones.
(−1)n
.
n
b) xn = n(−1)n .

d ) xn = (−1)2n+1 .
1
e) xn =
.
n − (−1)n
f ) xn = n − (−1)n .

a) xn =

c) xn =n(1 − (−1)n ).
2. Determine un n´
umero natural N tal que
a)

n
< 0,0001, si n > N .
1 + n2

3. Demuestre que la sucesi´
on xn =

b)
2
3

1 (−1)n
+
< 0,0001, si n > N .
n
n2

n

converge a cero.
n

4.Demuestre que la sucesi´
on xn = 1 − n(−1) no posee limite.
5. Considre la sucesi´
on real de t´ermino general xn =

n + 10
.
2n − 1

1
a) Demuestre que para todo n´
umero natural n se tiene que xn >.
2
1
1
1
b) Obtenga todos los n´
umeros naturales n para los cuales xn < + ε, con ε = ., ε =
. y
2
6
10
1
ε=
(donde k es un n´
umero natural fijo).
2(2k + 1)
1
c) Demuestre que l´ım xn =
n→∞
2
6.Dado ε > 0, obtenga un n´
umero natural N tal que
7. Dado ε > 0, obtenga un n´
umero natural N tal que

2n − 1
− 2 < ε, para cualquier n > N .
n+1
n2 + n − 1 − 1 1
−
< ε, para cualquier n > N .
3n2 + 13

8. En cada caso determine l´ım xn :
n→∞

a) xn =

n
9 + n+1
.
2 + n1

(n + 5)3 − n(n + 7)2
.
n2
2n+2 + 3n+2
e) xn =
.
2n + 3n
5 · 2n − 3 · 5n+1
f ) xn =
.
100 · 2n + 2 · 5n

d ) xn =

n
.
3n + 22−n
n2n
c) xn =
+
.
n+1 n+2

b) xn =

1

9. Suponiendo que xn = 1 para todo n ∈ N y l´ım xn = 1, calcule l´ım yn en cada uno de los siguientes
n→∞
n→∞
casos.
a) yn =

2xn − 1
.
xn − 2

c) yn =

x2n − 3xn+ 2
.
x2n − 1

b) yn =

xn − 1
.
x2n − 1

d ) yn =

x2n + xn − 2
.
xn − 1

10. Calcule l´ım xn en cada uno de los siguientes casos.
n→∞

n + 0,25
.
8n + 1
√
√
n2 + 1 + n
.
b) xn = √
3
n3 + n + n

a)xn =

3

c) xn =

n2 − 3n + 2
.
n2 − 1

d ) xn =

n2 + n − 2
.
n−1

11. Deduzca que si xn → ∞ e yn ≥ xn , para todo n ∈ N entonces yn → ∞.
12. Calcular las siguientes sumas si es que existen:
∞

(a)n=0

5
9

∞

n

(b)
n=1

5
9

∞

n

(c)
n=5

5
9

n

13. Verificar que el decimal 0, 9999..., con infinitos decimales iguales a 9 es 1
14. Calcular la suma parcial de la serie y demuestre que:
k...