Guia algebra

Rudimentos 5: Teorema del Binomio Profesor Ricardo Santander
Este capitulo esta destinado a presentar contenidos y actividades que permitir´n al estudiante: Operar con a simbolog´ matem´tica, desarrollar expresiones que involucren un n´mero finito de productos binomiales, y ıa a u emplear el concepto de b´squeda instant´nea, a fin de determinar r´pida y eficientemente los t´rminos en u a a edesarrollos binomiales mediante un algoritmo 1. Introducci´n a los Factoriales o Definici´n 1.1. Para cada n ∈ N llamaremos n factorial a n! = 1 · 2 · 3 · · · n, y definimos adem´s 0! = 1 o a Ejemplo 1.1.1. n! = (n − 1)! · n En efecto n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · n = [1 · 2 · 3 · · · (n − 1)] · n = (n − 1)! · n Definici´n 1.2. Para cada n ∈ N, k ∈ N y k ≤ n llamaremos n´mero combinatorio a o u n kEjemplo 1.2.1. 4 3 = 4! 3! · 4 = =4 (4 − 3)! 3! 1! · 3! = n! (n − k)!k! (1) para cada n ∈ N

Observaci´n 1.2.2. Consideremos un conjunto con cuatro elementos, digamos C = {1, 2, 3, 4} ⊂ N eno tonces ⋄ La cantidad de subconjuntos de C con cardinalidad 3 son los siguientes C1 = {1, 2, 3}, C2 = {1, 2, 4}, C3 = {1, 3, 4}, C3 = {2, 3, 4} 4 3 Son como se ve cuatro conjuntos lo que coincide con

⋄ Lacantidad de subconjuntos de C con cardinalidad 2 son los siguientes seis conjuntos C1 = {1, 2}, C2 = {1, 3, }, C3 = {1, 4}, C3 = {2, 3}, C3 = {2, 4}, C3 = {3, 4} Y que tambi´n coincide con e 4 2 = 4! 2! · 3 · 4 = =6 (4 − 2)! 2! 2! · 2!

En realidad esto no es una coincidencia, ya que en la pr´ctica el n´mero combinatorio a u

n con k ≤ n, k fue construido para contar la cantidad de grupos con kelementos a partir de n elementos dados, (de
1

2

RUDIMENTOS 5: TEOREMA DEL BINOMIO PROFESOR RICARDO SANTANDER

all´ la restricci´n k ≤ n) ı o

1.3. Propiedades de los N´meros Combinatorios. Entre muchas propiedades de los n´meros combiu u natorios, s´lo exhibiremos las que necesitamos estrictamente para conseguir nuestros objetivos. o

[1]

n k

=

n n−k

En efecto n! n! n = =(n − k)!k! (n − k)!(n − (n − k))! n−k n n En particular, = = 1, para verificar esta igualdad, basta hacer k = 0 y recordar que el 0 n conjunto vac´ no tiene elementos y es subconjunto de todos los conjuntos ıo = n+1 k En efecto n+1 k = n+1 n − (k − 1) n k n k

[2]

=

(n + 1)! n!(n + 1) n! (n + 1) = = · k!(n + 1 − k)! k!(n + 1 − k)! k! (n − k + 1)! n! (n + 1) n! (n + 1) · = · = k! (n − k)!(n −k + 1) k!(n − k)! n − (k − 1) n (n + 1) · k n − (k − 1)

= n+1 k+1

[3]

=

n+1 n k+1 k

En efecto n+1 k+1 [4] n k+1 = = n!(n + 1) n! n+1 (n + 1)! = = · = (k + 1)!(n − k)! k!(k + 1)(n − k)! k!(n − k)! k + 1 n n+1 · k k+1

n−k n k+1 k

En efecto n k+1 = n! n! n! 1 = = · (k + 1)!(n − k − 1)! k!(k + 1)(n − k − 1)! k! (k + 1)(n − k − 1)! n! n−k n! n−k · = · = k! (k + 1)(n − k)! k!(n −k)! k + 1 = n+1 k+1 n n−k · k k+1

= n n + k k+1 En efecto

[5]

2. TEOREMA DEL BINOMIO

3

n n + k k+1

=

n! n! n!(k + 1) + n!(n − k) + = k!(n − k)! (k + 1)!(n − k − 1)! (n − k)!(k + 1)! n!(n + 1) (n + 1)! n!(k + 1 + n − k) = = = (n − k)!(k + 1)! (n − k)!(k + 1)! (n − k)!(k + 1)! 2. Teorema del Binomio n+1 k+1

=

Teorema 2.1. (Teorema del Binomio). Si n ∈ N, a ∈ R y b ∈ R talque a + b = 0 entonces
n

(a + b)n =
k=0

n n−k k a b k

Demostraci´n o
n

Debemos verificar que (a +

b)n

=
k=0

n n−k k a b k

Gesti´n de la informaci´n: Como n ∈ N entonces podemos usar el proceso de inducci´n matem´tica, o o o a para verificar la validez de la f´rmula o
n

F (n) :

(a + b)n =
k=0

n n−k k a b k

(∀n; n ∈ N)

⋄ Debemos mostrar que F(1) esverdadera
1

Por una parte tenemos que
1

(a + b)1

= (a + b), y por otra,
k=0

1 n−k k b = a k

1 1−0 0 1 1−1 1 a b + a b = a+b 0 1

As´ que, (a + b)1 = ı
k=0

1 n−k k a b , y F (1) es verdadera k

⋄ Hip´tesis de inducci´n: Supongamos que F(n) es verdadera, es decir o o
n

(a + b)n =
k=0

n n−k k a b k

(H)

⋄ Tesis de inducci´n. Debemos mostrar que F(n+1) es verdadera o ◦...