Guia de onda circular

GUIA DE ONDA CIRCULAR
Para estudiar la propagación de una onda electromagnética en guías de onda de sección circular debe expresarse la ecuación en coordenadas cilíndricas.


Hipotesis:Campos proporcionales a e^(jωt-γz) y γ=α+jβ
Coordenadas cilindricas (r,φ, z).
De las ecuaciones de maxwell en coordenadas cilindricas, obtenemos los campos transversales (Hr, Hφ, Er, Eφ), entermonis de las componentes longitudinales (Hz, Ez).
H_r=-1/〖k^2〗_c [γ (∂H_z)/∂r-jωε/r (∂E_z)/∂φ]
H_φ=-1/〖k^2〗_c [γ/r (∂H_z)/∂φ-jωε (∂E_z)/∂r]
E_r=-1/〖k^2〗_c [γ (∂E_z)/∂r-jωμ/r (∂H_z)/∂φ]E_φ=-1/〖k^2〗_c [γ/r (∂E_z)/∂φ-jωμ (∂H_z)/∂r]

Donde: k=ω√(με ) ( numero de onda)
〖k^2〗_c=γ^2+k^2=γ^2+ω^2 με
La ecuación de onda para Ez en coordenadas cilíndricas está dadapor:
(∂^2 E_z)/(∂r^2 )+1/r (∂E_z)/∂r+1/r^2 (∂^2 E_z)/〖∂φ〗^2 +(∂^2 E_z)/〖∂z〗^2 =〖-ω〗^2 μεE_z

Ecuación (1)
(∂^2 E_z)/(∂r^2 )+1/r (∂E_z)/∂r+1/r^2 (∂^2 E_z)/〖∂φ〗^2 +〖k^2〗_c E_z=0
Para Hz laecuación es similar a la ecuación anterior.
Se resuelve la ecuación anterior por separación de variables:
Ecua. (i)
E_z=R(r)F(φ)Z(z)
Donde Z(z)=e^(-γz)
Reemplazando en la ecu. 1:
FR^''Z+1/R R^' FZ+R/r^2 F^'' 〖k^2〗_c RFZ=0
r^2 R''/R+r R'/R+F''/F=-〖k^2〗_c r^2
Ecua. 2
R^''+1/r R^'+(〖k^2〗_c-n^2/r^2 )R=0
Ecua. 3
F^''+n^2 F=0
Solución ecua. 3
F(φ)=A cos⁡〖(nφ)+B〗 sin⁡〖(nφ)〗Solución ecua. 2
R(r)=CJ_n (k_c r)+DN_n (k_c r)
Dónde:
Jn ( . ) = función de Bessel ordinaria de orden n.
Nn ( . ) = función de Neuman ordinaria de orden n.
Como los campos deben ser finitos para γ=0D=0, i podemos sustituir la solución de las ecua. 2 y 3 en (i) obteniendo:
E_z=J_n (k_c r)[A_n cos⁡〖(nφ)+B_n 〗 sin⁡〖(nφ)〗 ] e^(-γz)
De manera similar para hallar Hz.

ONDAS TM
Enel caso:
Hz=0, Ez≠0
Condiciones de entorno: Eparedes=0 Ez│r=a = 0
Entonces se tiene la ecua. 4: J_n (k_c r)=0 n=0,1,2,…
Las raíces de la ecuación 4 serán denominadas...