Derivación Implícita

Derivación Implícita

Introducción
La derivación implícita permite despejar una variable partiendo de otra, de allí su importancia ya que tiene una amplia gama de aplicaciones en diferentes camposdel quehacer humano.
El presente trabajo da una pincelada a este amplio tema con el propósito de dar a los estudiantes la base para la resolución de funciones a través de este método.

DerivaciónImplícita

Se denomina función implícita cuando se da una relación entre "x" y "y" por medio de una ecuación no resuelta para "y", entonces "y" se llama función implícita de "x".
Uno de losprocedimientos para calcular la derivada implícita es derivar la ecuación, término a término, considerando "y" como función de "x" y de la ecuación resultante despejar dydx, o lo que es lo mismo despejar y1Ejemplo 1
Hallar y1 en la función ax6+2x3y-y7x=10

Derivamos normalmente, con la única diferencia que cada vez que se derive a "y", debemos colocar al lado una y16ax5+6x2y+2x3y1-7y6xy1+y71=0
6ax5+6x2y+2x3y1-7y6xy1-y7=0

Se agrupan los términos semejantes

2x3y1-7y6xy1=-6ax5-6x2y+y7

Sacamos factor común

y12x3-7y6x=-6ax5-6x2y+y7

Despejamos todo

y1=-6ax5-6x2y+y72x3-7y6xEjemplo 2
Hallar y1 de la ecuación In y3=x

Paso 1: Colocamos la ecuación con base a y1

(In(y)3)1(y3)1=(x)1

Paso 2: Derivamos con y1

1y3*3y2y1=1
3y2y1y3=1

Paso 3: Agrupamos términossemejantes y despejamos

y1= y33y2
y1= y3

Ejemplo 3
Hallar y1 de la ecuación cosy+cosx=0

Paso 1: Colocamos la función en base y1

(cosy)1+(cosx)1=0

Paso 2: Derivamos con y1-sinyy1-sinx=0

Paso 3: Agrupamos términos semejantes y despejamos

y1= -sinxsiny

Ejemplo 4
Hallar y1 de la ecuación x2y+3y2=2xy

Paso 1: Colocamos la función en base y1

(x2y+3y2x)1=(2xy)1Paso 2: Derivamos con y1

2xy+x2y1+6yy1x+3y2=2y+2xy

Paso 3: Agrupamos términos semejantes y sacamos y1 a factor común
x2y1+6yy1x-2xy1=2y-2xy-3y2
y1(x2+6yx-2x)=2y-2xy-3y2

Paso 4: Despejamos...