Guia


Introducción


Dualidad. Un problema de maximización en programación lineal puede ser asociado con otro problema lineal pero de minimización y viceversa.

Esta asociación de los dos problemas se conoce como "DUALIDAD" o "PROBLEMA DUAL".

El estudio del problema dual tiene un interés matemático - económico porque:

Nos permite entender mejor el método de la programación lineal.Puede ayudar a disminuir el tamaño de un modelo lineal; con el consiguiente ahorro de trabajo al resolverlo a través del dual.

Es una herramienta adicional para realizar los análisis posoptimales.

Complementa y da una fácil interpretación económica de las variables, coeficientes de la función objetiva y términos independientes de las restricciones.

Empezaremos estableciendo lascaracterísticas duales, luego la expresión matemática de ellas, para pasar luego a las aplicaciones más sobresalientes.

Definiremos como problema "PRIMAL o PRIMARIO" al modelo matemático que tenemos como punto de partida; y problema "DUAL" al que surge por asociación con el anterior.

CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LA DUALIDAD

a) Si el primal implica maximización, el dual es minimización y viceversa.b) Los coeficientes de la función objetivo del dual están formados por los términos independientes de las restricciones del primal.

c) El dual tiene restricciones como variables tiene el primal.

d) Si las restricciones del primal son tipo , las restricciones del dual serán del tipo  y viceversa.

e) Los términos independientes del dual están formados por los coeficientes de la funciónobjetivo del primal.

f) El coeficiente de la variable j.-exima en la restricción j-exima del primal se transforma en el coeficiente de la variable j-exima de la restricción j-exima de la restricción j-exima del dual.
"máximo del primal = mínimo del dual"

Por lo tanto, el primal puede ser un caso de maximización o de minimización y el dual de un dual no es otra cosa que su primal.PRIMAL
DUAL


Xj = Variables primales
Yj = Variables duales


Asesoría didáctica

Durante este segundo periodo usted revisará los capítulos III y IV, del texto guía Investigación Operativa tomo I, en los temas relacionados con el problema dual y el problema de transporte, contenidos que le servirán para desarrollar la actividad. Adicionalmente, usteddispondrá de ejemplos relacionados con el tema de estudio en esta asesoría.

SOLUCIÓN DEL DUAL A TRÁVES DEL PRIMAL

Una de las aplicaciones de la dualidad existente en programación lineal es la posibilidad de obtener la solución de un modelo lineal a partir o por inspección de la solución de su dual o de su primal.

Esto significa que habiendo resuelto un problema, implícitamente estáresuelto el otro.

Entonces, esto da la posibilidad de trabajar con aquel modelo que tenga menor número de restricciones, disminuyendo por tanto el tiempo de solución.

Con un análisis sencillo estableceremos las relaciones entre la solución óptima del primal y la solución óptima de su dual.

RELACIÓN ENTRE LAS FUNCIONES OBJETIVAS ÓPTIMAS

Utilizando la notación matricial podremos expresar unmodelo de maximización, como:


Z (MAX) = Ci Xi
PRIMAL RESTRICCIONES:
AX  b
En donde;

Ci = matriz de una sola fila.
Xi = matriz de una sola columna (variables primales).
A = matriz de los coeficientes tecnológicos.
B = matriz de una sola columna que representa a los término independientes.

A estecorresponde un dual:

Z (MIN) = bty
DUAL RESTRICCIONES
ATY  CT

Donde:

bT = traspuesta de b
Y = matriz de una sola columna (variables duales)
AT = es la traspuesta de A
CT = traspuesta de C

Supongamos que X sea una solución factible cualquiera, reemplazando en el primal tenemos

CX = XTCT  XT (ATY), porque CT  ATY
Pero, XT (ATY) = (AX) TY

Luego: CX  (AX)...