Guis de Ecuaciones Ordinarias

UCV-INGENIERÍA

ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES
Tema 1:
Introducción a las Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y sus
aplicaciones.
Contenidos Programáticos
1.1-

Definiciones preliminares: Ecuación Diferencial, orden de una ecuación diferencial.
ecuaciones diferenciales lineales.

1.2-

Solución de una ecuacióndiferencial. Familia de soluciones. Solución particular y
solución singular. Problema de valor inicial. Ecuación diferencial asociada a una
familia de curvas

1.3-

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden resueltas respecto a la
derivada. Problema de valor inicial. Teorema de existencia y unicidad de las
soluciones.

1.41.4.11.4.21.4.31.4.4-

Métodos de solución deecuaciones de primer orden
Ecuaciones en variables separables y reducibles a ellas
Ecuaciones homogéneas y reducibles a homogéneas
Ecuaciones diferenciales exactas. Factores integrantes
Ecuaciones lineales de primer orden y reducibles a ellas (Ecuación de Bernoulli)

1.51.5.11.5.21.5.31.5.4-

Aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
Aplicaciones Geométricas:Trayectorias isogonales y ortogonales
Crecimiento poblacional y desintegración radiactiva
Ley de enfriamiento de Newton
Vaciado de tanques

Prof. Gerardo Ramírez

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ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

Ejercicios propuestos sobre Generalidades y Ecuaciones en variables Separables
1.- Para cada una de las ecuaciones dadas a continuación verifique que la función dada es
solución de lamisma
a)
b)
c)

dy
− 2y =
e3 x
= e3 x + 10e2 x
y
dx
y
x 2 y ′′ − xy ′ + 2 y = x cos ( ln x ) , x > 0
=
0
 x ( t ) = t ln t

 y′ 
y ′ ln   = 4 x

= t 2 ( 2 ln t + 1)
4
 y (t )


2.- Obtenga el valor de m de manera que la función y = x sea solución de la ecuación
m

diferencial x y ′′ + 6 xy ′ + 4 y =
0

Sol: m = m =
−1 y
−4

2

3.- En cada caso hallela Ecuación Diferencial asociada a la familia de curvas dada:

k
cos x

a)

y=

b)

x = y ∫ sen ( t 2 )dt

S:

x

y ′ − y tgx =
0

S:= xy ′ + y senx
y
2

0

c) = C1 x −4 + C2 x −1
y

2

S: x 2 y ′′ + 6 xy ′ + 4 y =
0

x+ y
x− y
e) Familia de circunferencias que tienen centro sobre la recta y = x y que pasan por el
 y
arctg   − ln  C x 2 + y 2  =

 0

x

S: y ′ =

|

d)

S: (1 − y ′) ( x 2 − y 2 ) + 2 xy (1 + y ′) =
0

origen

f) Familia de parábolas de eje vertical, cuyo vértice está sobre el eje x
S: ( y ′) = 2 yy ′′
g) Familia de elipses cuyos focos se encuentran en los puntos (-3,0) y (3,0)
S: ( x + yy ′)( xy ′ − y ) =′
9y
2

4.- Compruebe que la EDO y ′ = y tiene una solución única que cumple y ( x0 ) = y0
2para cualquier punto ( x0 , y0 ) del plano xy

5.- Demuestre que en el intervalo [ 0,π] , las funciones y1 ( x ) = 1 y y2 ( x ) = cos x ,

dy
+ 1 − y 2 =con y ( 0 ) = 1 ¿Por qué este
0,
dx
|

satisfacen el problema de valor inicial

hecho no contradice el Teorema de Existencia y Unicidad?

Prof. Gerardo Ramírez

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6.- Determine siel Teorema de Existencia y Unicidad garantiza que la ecuación

dy
=
dx

y 2 − 9 tiene solución única que cumpla a) y (1) = 4 , b) y (1) = −1
|

7.- Resuelva en cada caso, la ecuación diferencial dada
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

−3 x
S: 3 y − e
+C =
0
dx + e3 x dy =
0
dy
S: y = x + 5 ln x + 1 + C
x+
( x + 1) = 6
dx
dy y + 1
S: = kx − 1
y
=
dx
x
dx 1 + 2 y 2
2
=
S: y+ ln y + cos x =
C
dy y senx
dy
S: 3 ( y − 1) e y + 3e− x + e−3 x + C =
0
e x y = e− y + e−2 x− y
dx
2
2
3
3
dx ( y + 1)
S: y + 2 y + ln y − x ln x + x =
C
y ln x
=
2
3
9
dy
x2
S:
C
sen ( 3x ) dx + 2 y cos 3 ( 3x ) dy = sec 2 ( 3x ) + 6 y 2 =
0

h)

dx
(1 + x ) dy + x (1 + 4 y )=

i)

′
x 2 y = y − xy

4

2

l)
m)

y′ =

k)

n) =
y′

( x + y +...