Herramientas de software para resolver Ecuaciones en Derivadas Parciales utilizando el Método de Elementos Finitos

Herramientas de software para resolver
Ecuaciones en Derivadas Parciales
utilizando el Método de Elementos Finitos

Alejandra C. Cáceres R.
Mayo 2011

Universidad de Carabobo
Facultad Experimental de Ciencias y Tecnología
Departamento de Matemáticas

Herramientas de software para resolver
Ecuaciones en Derivadas Parciales
utilizando el Método de Elementos Finitos
Autor: Alejandra C. Cáceres R.Informe final de pasantía presentado ante el Departamento de Matemáticas de la
Facultad Experimental de Ciencia y Tecnología de la Universidad de Carabobo

Tutor Académico: Prof. Carlos Cadenas
Tutor en la empresa: Prof. Carlos Cadenas

Valencia, 2011

Índice general
INTRODUCCIÓN

1

1. Descripción de la empresa

3

1.1. Nombre y Ubicación de la Empresa . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.Misión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3. Visión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2. DESCRIPCIÓN DE LAS TAREAS REALIZADAS

5

3. TAREA MÁS RELEVANTE

11

3.1. Formulación Semi-discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.1.1. Caso parabólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143.1.2. Caso elíptico

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.1.3. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Esquemas completamente Discretizados . . . . . . . . . . . . .

20

3.2.

3.3. Matrices Jacobianas y Jacobianos de transformaciones

. . . . . . . .

21

3.4. Cálculo de las matrices en el elemento de referencia . . . . . . . . . .

233.4.1. Resolución numérica de las matrices del Caso Parabólico . . .

23

3.4.2. Resolución numérica de las matrices del Caso General . . . . .

26

4. ALGORITMOS DESARROLLADOS EN LA PASANTÍA
v

30

ÍNDICE GENERAL

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

35

BIBLIOGRAFÍA

37

Bibliografía

37

vi

Universidad de Carabobo, FaCyT-Matemáticas

INTRODUCCIÓN

Muchos fenómenos en la naturaleza, ya seanbiológicos, geológicos o mecánicos pueden
ser descritos mediante las leyes de la física, usando ecuaciones diferenciales o integrales
que relacionan los factores de interés. Por esta razón, es necesario plantear modelos
matemáticos para dichos fenómenos y tener métodos para resolverlos. La gran mayoría
de las veces una solución analítica no es posible, ya sea porque no existe dicha
solución o porque resultamuy complejo su cálculo. Así, la solución obtenida mediante
métodos numéricos resulta fundamental y de suma importancia. Esto nos conduce a
la búsqueda de herramientas computacionales eficientes que nos permitan resolver
dichos problemas.
El método de elementos finitos es un método numérico general usado para hallar
una aproximación a la solución de ecuaciones en derivadas parciales sobregeometrías
complicadas, y muy utilizado en diversos problemas de la ingeniería y la física.
Desde su aparición en el año 1943 hasta la actualidad, se ha convertido en una de
las mejores herramientas usadas para resolver ecuaciones en derivadas parciales con
muchas ventajas sobre métodos anteriores, tales como el fácil manejo de condiciones
de contorno generales y geometrías complejas, la posibilidad deobtener de forma
concreta el error de estimación en la solución dada por el método, su sólido
fundamento teórico y, debido a su clara estructura y versatilidad, el método de
elementos finitos hace posible el desarrollo de softwares generales para aplicarlo a

Introducción

problemas específicos.
Esta pasantía tuvo como objetivo, contribuir al desarrollo de herramientas
computacionales que facilitenla implementación del método de elementos finitos a
ecuaciones en derivadas parciales generales; esto, estudiando el método, aplicándolo
a una ecuación en derivadas parciales en 2D y con términos de difusión, convección y
reacción, y obteniéndose rutinas en Lenguaje C que permiten hallar las matrices involucradas en el esquema semi-discreto de 3 casos de ecuaciones en derivadas parciales,
una...