Herramientas Matematicas

C O N T R O L

D I G I T A L

/

P R O F .

S A T U R N O

S A R M I E N T O

CAPITULO

2

Herramientas de Análisis

A
Mantenedor de datos Transformada Z

Quí discutiremos las herramientas de análisis, que son de suma importancia para el análisis y diseño de los sistemas de control digital.

Palabras Claves
Reconstructores de datos.

Mantenedor de orden cero. Mantenedorde primer orden. Muestreo de funciones conjuntas

Transformada Z Inversa Ecuaciones en diferencia lineales.

R( s)

R( z )

E(z)

T

+

GC ( z )

U c ( z)

T

GZOH ( s )

m(t )

Y (s)

GP ( s )

−
Y ( z)

G( z)

T

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2 :

H E R R A M I E N T A S

D E

A N Á L I S I S

2.

RECONSTRUCTORES DE DATOS, TRANSFORMADA Z Y ECUACIONES ENDIFERENCIA LINEAL.Equation Chapter 2 Section 2

2.1. EL MUESTREADOR MANTENEDOR DE DATOS.
En general, no es deseable aplicar una señal en forma muestreada, tal como un tren de pulsos rectangulares, directamente a una planta, debido a los componentes de alta frecuencia inherentemente presentes en la señal. Motivado a esto se inserta en el sistema, después del muestreador, un dispositivo llamadoreconstructor de datos o mantenedor de datos. El propósito de este dispositivo es reconstruir la señal muestreada de tal forma que se parezca lo más posible a la señal original. En la figura 2-1 se puede ver un esquema muestreador – mantenedor de datos.

fi (t )
Fi ( s ) δ T

fi * (t ) Fi ( s )
*

Mantenedor

f 0 (t ) F0 ( s )

FIG. N° 2-1: Muestreador y mantenedor de datos. La expresiónmatemática que describe al esquema de la figura 2-1 es: ∞  F0 ( s ) =  ∑ f i ( KT )e − KTS  [GHold ( s ) ] (2.1).  K =0  El primer factor de (2.1) se ve que es función de la señal de entrada fi(t) y del período de muestreo T. Este factor es la función muestreada ya previamente discutida El segundo factor es independiente de fi(t) y se considera una función de transferencia. Este dispositivoserá objeto de estudio en lo que sigue.

2.2. RECONSTRUCCIÓN DE DATOS Y FILTRADO DE SEÑALES MUESTREADAS.
Las componentes armónicas de frecuencia más altas en una señal muestreada f*(t), que han resultado de la operación de muestreo, deben ser removidas antes de que la señal sea aplicada a la porción analógica del sistema. En general, suele usarse un filtro paso bajo o un dispositivo dereconstrucción de datos para eliminar estas componentes. Uno de los filtros más populares, en sistemas de control, es el Muestreador – Mantenedor (S/H) de datos discutido anteriormente. El problema de reconstrucción de datos puede ser expresado como: “Dada una secuencia de números, f(0), f(T), f(2T), …, f(KT), …, una señal de datos continua f(t), para todo t ≥ 0, puede ser reconstruida desde lainformación en la secuencia”.

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H E R R A M I E N T A S

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A N Á L I S I S

El proceso de reconstrucción de datos puede ser considerado como un PROCESO DE EXTRAPOLACIÓN, ya que la señal de datos continua es reconstruida basándose en la información disponible solamente en los instantes de muestreo pasados. En general, la señal original f(t) entre dos instantes demuestreo consecutivos, KT y (K+1)T, es estimada basándose en los valores de f(t) en todos los instantes de muestreo precedentes de KT, es decir, (KT), (K-1)T, (K-2)T, …, 0; esto es, f(KT), f[(K-1)T], f[(K-2)T], …, f(0). La figura 2-2 nos permitirá explicar el proceso de reconstrucción de datos.
f (t )

f [ ( K + 1)T ] f [ ( K − 1)T ] f (2T ) f (3T ) f (T ) f ( KT )
r (t )

f (t )
T
−

f * (t)

+

Mantenedor

f K (t )

Planta

y (t )

f (0)
T

2T

3T

KT

t

[( K − 1)T ]

[( K + 1)T ]

FIG. N° 2-2: Forma de onda y diagrama de bloque para explicar la reconstrucción de datos.

Un método comúnmente usado para reconstruir datos a partir de sus muestras es el método de “EXTRAPOLACIÓN POLINOMIAL”. Este método consiste en lo siguiente: Usando una expansión en...