Hidrau

UNIVERSIDAD DEL ZULIA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
CATEDRA: CALCULO III

[pic]

Profesores de la Cátedra

Maracaibo julio 2008
Las integrales múltiples, o sea, las integrales de funciones de dos o tres variables se aplican para el cálculo de área, volumen, masa y área de superficie en una variedad desituaciones mayor de las que puede manejarse con la integral simple.

INTEGRALES DOBLES.

El tipo más simple de integrales múltiples es la integral doble
[pic]
de una función continua [pic]sobre un rectángulo [pic], es decir, [pic] en el plano [pic].
Sea [pic] definida en una región cerrada y acotada [pic]. Por medio de una red de rectas verticales y horizontales paralelas a los ejes decoordenados, se forma así, una partición [pic]de [pic]en subregiones rectangulares [pic], ([pic]= 1,2,3,…..,n), de áreas [pic] contenidas totalmente en [pic].
Sea [pic] la norma de la partición, o sea la longitud de la diagonal mayor de las [pic]. Luego en [pic] elegimos un punto de muestra [pic] en cada subregión y formamos la Suma de Riemann [pic] que corresponde (si [pic]), a la suma de losvolúmenes de n cajas. Al hacer la partición cada vez más pequeña, de modo que todos los [pic] sean más pequeños, tendremos el volumen [pic] del sólido que se encuentra debajo de la superficie [pic] y por encima de la región.
Esperamos determinar el volumen exacto [pic] considerando el límite de la suma de Riemann [pic], cuando la norma [pic] de la partición [pic] tiende a cero. Por tanto,definimos la integral doble de la función [pic] sobre el rectángulo [pic] como:
[pic] = [pic], si existe.

Cuando [pic]= 1 en [pic], entonces, [pic] dará simplemente el área [pic] de la región: esto es,
[pic]

TEOREMA DE INTEGRABILIDAD.
Si [pic]esta acotada en el rectángulo cerrado [pic] y es continua allí, excepto en un número finito de curvas suaves, entonces [pic] es integrableen [pic]. En particular, si [pic] es continúa en todo [pic], entonces [pic] es integrable.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE.
1.- La integral doble es lineal; es decir,
a. [pic] = [pic];
b. [pic] = [pic] [pic] [pic]
2.- La integral doble es aditiva en rectángulos
[pic] = [pic] + [pic], donde [pic] es la unión de dos subregiones [pic] y [pic] que no se sobreponen.
3.- Se cumple lapropiedad de comparación. Si [pic][pic] [pic] para todo [pic] en [pic],

[pic] [pic] [pic]
4.- [pic][pic]0 si [pic]
5.- Si [pic], en una parte de [pic], entonces [pic] proporciona el volumen con signo del sólido entre la superficie [pic] y el rectángulo [pic] del plano [pic]. El volumen real de este sólido es
[pic]
INTEGRALES ITERADAS.

TEOREMA DE FUBINI
Suponga que[pic] es continua en un rectángulo [pic].
Entonces
[pic] = [pic]
Significado de los paréntesis en la integral iterada.
Si [pic] = [pic], primero mantenemos [pic]constante e integramos con respecto de [pic], de [pic]. El resultado de esta primera integración es la integral parcial de [pic] con respecto de [pic], que se denota con [pic], y es una función solo de [pic]. Entonces integramosesta última función con respecto de [pic], de [pic].
De manera análoga, se calcula la integral iterada
[pic] = [pic].
Este teorema nos indica como calcular una integral doble por medio de dos integraciones sucesivas (o iteradas) de una sola variable, las cuales se pueden calcular aplicando el teorema fundamental del cálculo.

Ejercicio.

1.- Evalué la integral iterada de:
a.-[pic] en el rectángulo [pic]
b.- [pic] c.- [pic]
d.- [pic] e.- [pic]

AREA DE UNA REGIÓN PLANA

Región de tipo I Región de tipo II
La región esta acotada por La región esta acotada por
[pic] [pic]
[pic]...