HIDRAULICA

UNIDAD VIII
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Las aplicaciones de la Integral definida al cálculo de longitudes, superficies, volúmenes y
fundamentalmente problemas físicos (dinámica, calor, electromagnetismo etc.) son infinitas.
Veremos los principios generales que guían las aplicaciones prácticas.
Partiremos de la igualdad siguiente:
b

n

a

1

Si f(x) es continua en a, bentonces  f(x)  lim  f( i ).

a  x0

x1 ......

i

xi 1

xi

n 

ba
n

b  xn

En la formula anterior se esta trabajando con una equipartición, es decir que todos los intervalos
ba
(x i  x i 1 ), tienen la misma longitud,
. Sin mucho esfuerzo podemos pasar a una partición
n
con intervalos de longitud cualquiera y construir una formula más útil, de la manerasiguiente:
b

n

n

a

1

1

 f (x)dx  lim  f (i )(x i  x i1 )  lim  f (i ).x i
n 

siendo x i  ( x i  x i 1 )

Todavía podemos hacerla mas practica sustituyendo el valor ξ, que es un punto cualquiera del
intervalo ( xi  xi 1 ), por uno de los extremos, por ejemplo el xi. En definitiva nos quedara:
b

n

a

i 1

 f (x)dx  lim  f (x i )x i
Pasamos alas aplicaciones prácticas
Los problemas siempre se pueden esquematizar de la manera siguiente: Queremos calcular una
cantidad C. si la dividimos en pedazos ci, de manera que C = c1 + c2 +………cn = ∑ci, luego se
tratara de encontrar algún valor aproximado de cada ci, llamamos ci a dicho valor aproximado.
Por supuesto que trataremos que la diferencia entre el valor ci y la media de los valores cisea lo
mas pequeña posible, es decir el error α = ci  ci , o lo que es igual a decir que el orden del
infinitésimo α debe ser mayor al del infinitésimo ci .
Si encontramos ahora una variable x y una función f(x) de manera que ci tome la forma

ci  f (x i )x i , resultara: C   ci   f (x i )x i .

Volumen de Sólidos de Revolución

En esta sección veremos cómo se puede utilizar laintegral definida para evaluar el
volumen de ciertos sólidos, llamados sólidos de revolución.
Un sólido de revolución es aquel que se genera al girar una región plana alrededor de una
recta en el plano. A la recta se le llama eje de revolución. En este texto solo se tomaran ejes de
revolución paralelos a los ejes coordenados. En lo adelante ilustraremos cómo se puede calcular
el volumen detales cuerpos.
Cálculo de un volumen de revolución
Consideremos una función f(x) y su gráfico girando alrededor del eje ox , queremos
calcular el volumen engendrado por dicha curva al girar alrededor de ox y comprendido entre los
planos perpendiculares a ox que pasan por x = a y x = b

Consideramos ahora una partición del intervalo [ab] y el disco (tronco de cono)
comprendido entre los planosperpendiculares a ox que pasan por xi 1 y xi . Los radios de las
“tapas” de dicho tronco de cono son f (x i1 ) y f(x i ) .
El volumen total V lo podemos considerar como una suma de estas secciones.

V  v1  v2  ...  v n
Cada v i es el volumen de un tronco de cono como el pintado en la figura, pero si
consideramos que la partición tiene suficientes puntos, los troncos de cono seconvierten en
discos cilíndricos (ya que las dos tapas son aproximadamente iguales) y el volumen v i de estos
discos es muy fácil de calcular.
El volumen del disco será:
v i  2f 2 ( x i ).( x i  x i 1 ) por lo tanto el volumen

total será :
b

V   2f 2 ( x i ).( x i  x i 1 )
a
b

b

 V  lim  2f ( x i )( x i  x i 1 )   2f 2 ( x )dx
2

a

Veamos algunos ejemplos:

a1. Si la región limitada por un rectángulo, de lados h y R, se gira alrededor del lado h, se
origina un cilindro circular recto cuyo Volumen es: V =  h R2

2. Si la región limitada por un triángulo rectángulo se gira alrededor de uno de sus catetos, se
genera un Cono recto.

3. Si un rectángulo de lados h y k, se gira alrededor de una recta paralela al lado h, pero que
no intercepta...