Hiperbola

GEOMETRÍA ANALÍTICA

LA HIPÉRBOLA
CONTENIDO
1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen
1.1 Análisis de la ecuación

2.

Asíntotas de la hipérbola
Ejemplo 1

3.

Ecuación de la hipérbola vertical con centro en el origen
Ejemplo 2

4.

Hipérbolas conjugadas equiláteras o rectangulares con centro en el origen
Ejemplo 3

5. 6. 7. 8. 9. 10.

Ecuación de lahipérbola horizontal con centro fuera del origen Ecuación de la hipérbola vertical con centro fuera del origen Forma general de la ecuación de la hipérbola horizontal y vertical con centro fuera del origen Ecuaciones de la hipérbola equilátera referida a sus propias asíntotas Posición general de la hipérbola y su ecuación Ejercicios

Una hipérbola es la curva que se obtiene intersectando un conoy un plano; si el plano está inclinado, corta ambas secciones del cono y no pasa por el vértice del mismo. Ver la Figura 1. Definición. Esta curva está definida como el lugar geométrico de todos los puntos contenidos en un plano, que tienen la propiedad común relativa de que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante, que representaremos por 2a.

De laFigura 2, se puede ver que los puntos M, F1 y F2 son los vértices de un triángulo y como en todo triángulo la diferencia entre dos de sus lados es menor que el tercero, entonces:

MF1- MF 2 < F1F 2
Figura 1
7. LA HIPÉRBOLA AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

7-1

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Y dada la definición se puede escribir que:

MF1-MF 2 = 2 a
Y que la distancia focal es: F1F2 = 2 c .

1.

Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen.
Para este tipo de curva las coordenadas de los focos son: F1(-c,0) y F2(c,0). La condición de movimiento del punto M(x, y) según definición es:

M F 1 - M F 2 = Constante = 2 a ....................................................................................(1)
Pero deacuerdo a la expresión para la distancia entre dos puntos tenemos:

M F 1 = (x + c ) + (y + 0 )

2

2

y M F 2 = (x - c ) 2 + (y + 0 ) 2

Sustituyendo en (1), tenemos:

( x +c ) +( y +0 )

2

2

-

( x -c ) +( y +0 )

2

2

=2 a

Despejando al primer radical:

( x+c ) + y

2

2

=2a+

( x-c ) + y

2

2

Elevando al cuadrado ambos miembros ydesarrollando:

(

( x+c ) + y

2

2

) = (2 a +
2 2

(x-c ) +y
2

2

2

)

2

2 2 2 x +2c x+c + y =4a +4a

( x-c ) +y

2

+ x2 -2c x+c 2 + y

2

Reduciendo términos semejantes:

4c x-4a2=4a

(x-c ) +y

2

2

Dividiendo entre 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes:

7. LA HIPÉRBOLA AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN PARA INTERNET:PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

7-2

GEOMETRÍA ANALÍTICA

(c x - a )
2

2

= a (x - c ) 2 + y 2
2

(

)

2

2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 c x -2a c x +a =a x -2a c x +a c +a y 2 2 2 2 2 4 2 2 c x -a x -a y =a c -a

2

Factorizando:
( c 2 - a 2 ) x 2 - a 2 y = a 2 ( c 2 - a 2 ) ...........................................................................(2) Para transformar más estaecuación, tomaremos en cuenta, refiriéndonos al triángulo F1MF2 de nuestra Figura 2, que cada lado es mayor que la diferencia de los otros dos; esto nos permite escribir que:
2

F1F 2 > MF1 - MF 2
Pero como F 1 F 2 = 2 c y tomando en consideración la ecuación (1), se tiene: 2c>2a Dividiendo entre dos y elevando al cuadrado.

c >a
2 2 c >a

Por tanto:
2 2 c −a >0

Como la última desigualdadexpresa que la diferencia c2 – a2 es constante y positiva, podemos expresarla de la siguiente manera por otra constante b2:
2 2 2 c - a =b

Sustituyendo en la ecuación (2) queda:
2 2 2 2 2 b x - a y = a b ..................................................................................................(3) 2

Que es la ecuación definitiva de la hipérbola, la que también, al dividir entre...