Hiperbola

§ La hipérbola
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§ § La hipérbola
Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos (x,y) en el plano, tales que la diferencia positiva entre las distancias de (x,y) a un par de puntos fijosdistintos (los focos) es igual a una constante.
§ El eje x que contiene dos puntos de la hipérbola se llama eje transversal; el eje y, eje conjugado.
§ Los puntos (±a,0) del eje transversal son losvértices, y el punto de intersección de los ejes (0,0), se llama centro.
§ Un punto (x,y) está en la hipérbola con vértices (±a,0) y focos (±c,0) si y solo si satisface la ecuación
§ La hipérbolarepresentada por
Multiplicamos el numerador y el denominador por y obtenemos
§ Ahora tenemos una constante en el numerador; pero, cuando los valores positivos de x son grandes, ambos términos deldenominador son grandes y positivos.
§ Mientras mayor es el valor de x, mayor es el valor del denominador, y , por consiguiente d es menor. Sí d tiende a cero cuando aumenta x, lo cual demuestra quela recta es una asíntota de la hipérbola. En el caso de los otros tres cuadrantes se pueden emplear razonamientos semejantes para demostrar que sucede los mismo en ellos.
§ Una forma cómoda detrazar las asíntotas es graficar (±a,0) y (0, ±b) (aunque el segundo par de puntos no pertenece a la hipérbola) y trazar el rectángulo determinado por los puntos. Las diagonales de ese rectángulo son lasasíntonas.
§ En este caso hay dos lados rectos que contienen los focos y son perpendiculares al eje transversal.
§ Propiedades de la hipérbola.
1. La curva es simétrica a ambos ejes, es decir, larecta focal y la mediatriz del segmento focal son ejes de simetría.
2. El punto de intersección de las dos rectas antes mencionadas es el centro de simetría de la curva, el cual se conoce comocentro de la hipérbola.
3. Intersección con los ejes coordenados.
§ Intersección con los ejes coordenados
a) Con el eje x
Sea y=0 entonces x2/a2=1 \ x=± a
A partir de este resultado...