HIPERBOLIDE_1HOJA 1

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ESTUDIO DEL HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

x2 y2 z 2
+
−
=1
a2 b2 c2

1 - Estudio de la Simetría
a) Simetría respecto a los planos coordenados
Simetría respecto al plano xy
x 2 y 2 (− z ) 2
+
− 2 =1
a2 b2
c
la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de la
variable z, concluimos que la superficie es simétrica respecto al plano xy.
Simetría respecto al plano xz
x 2 (− y ) 2 z 2+
− 2 =1
a2
b2
c
la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de la
variable y; concluimos que la superficie es simétrica respecto al plano xz.
Simetría respecto al plano yz
(− x) 2 y 2 z 2
+ 2 − 2 =1
a2
b
c
la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de la
variable x; concluimos que la superficie es simétrica respecto al plano yz.
b) Simetría respecto a losejes coordenados
Simetría respecto al eje x
x 2 (− y ) 2 (− z ) 2
+
− 2 =1
a2
b2
c
la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de las
variables y y z; concluimos que la superficie es simétrica respecto al eje x.

66
Simetría respecto al eje y
(− x) 2 y 2 (− z ) 2
+ 2 − 2 =1
a2
b
c
la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de las
variables x y z; concluimosque la superficie es simétrica respecto al eje y.
Simetría respecto al eje z
(− x) 2 (− y ) 2 z 2
+
− 2 =1
a2
b2
c
la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de las
variables x e y; concluimos que la superficie es simétrica respecto al eje z.
c) Simetría respecto al origen de coordenadas
( − x ) 2 (− y ) 2 ( − z ) 2
+
− 2 =1
a2
b2
c
la ecuación de la superficie no se alterasi cambiamos el signo de las tres
variables; concluimos que la superficie es simétrica respecto al origen;.
2- Verificar si la superficie contiene o no el Origen del Sistema de
Coordenadas
Reemplazando por el punto P(0,0,0) en la ecuación:
02 02 02
+
−
≠1
a 2 b2 c2

;

0 ≠1

se deduce que la superficie no contiene al origen de coordenadas.
3- ntersección con los ejes coordenados
a) Intersección conel eje x
 x2 y2 z2
 2 + 2 − 2 =1
b
c
 a
y = 0
z = 0



⇒

 x2
 2 =1
 a
y = 0
z = 0



⇒

x 2 = a 2

y = 0
z = 0


⇒

 x = ±a

y = 0
z = 0


O sea que: x = ± a y = z = 0 ⇒
A1 (a, 0, 0)
∧
A2 (-a, 0, 0)
(son dos puntos sobre el eje x, simétricos con respecto al origen del
sistema de referencia)

67

b) Intersección con el eje y
 x2 y2 z2
 2 + 2 − 2 =1
b
c
 a
x = 0z = 0



⇒

 y2
 2 =1
 b
x = 0
z = 0



⇒

y2 = b2

x = 0
z = 0


⇒

 y = ±b

x = 0
z = 0


o sea que: y = ± b x = z = 0
⇒
B1 (0, b, 0)
∧
B2 (0, -b, 0)
(son dos puntos sobre el eje y, simétricos con respecto al origen del
sistema de referencia)
c) Intersección con el eje z
 x2 y2 z2
 2 + 2 − 2 =1
b
c
 a
x = 0
y = 0



⇒

 z2
− 2 = 1
 c
x = 0
y = 0



⇒

z 2 =− c 2

x = 0
y = 0


raíz par de nº negativo;

por lo tanto, no existe intersección real.
4- Intersección con los planos coordenados
a) Intersección con el plano coordenado “xy” (z=0)
 x2 y2 z2
 2 + 2 − 2 =1
b
c
a
z = 0


⇒

 x2 y2
 2 + 2 =1
b
a
z = 0


btenemos un cilindro elíptico centrado en el origen de coordenadas, cortado
z
con el plano “xy”, La intersección es una elipsesobre el plano coordenado
“xy” que recibe el nombre
de “elipse de garganta”.
z

o

y

y
o

x
x

68

b) Intersección con el plano coordenado “xz” (y = 0)
 x2 y2 z2
 2 + 2 − 2 =1
b
c
a
y = 0


 x2 z2
 2 − 2 =1
c
a
y = 0


⇒

obtenemos un cilindro hiperbólico de eje x centrado en el origen de
coordenadas, cortado con el plano “xz”. La intersección es una hipérbola de
eje focal x sobre el planocoordenado “xz”.
z
z

y
y

o

o
x
x

c) Intersección con el plano coordenado “yz” (x = 0)
 x2 y2 z2
 2 + 2 − 2 =1
b
c
a
x = 0


 y2 z2
 2 − 2 =1
c
b
x = 0


⇒

obtenemos un cilindro hiperbólico de eje y centrado en el origen de
coordenadas, cortado con el plano “yz”: hipérbola de eje y sobre el plano
coordenado “yz”.
z

y
o
x

← Cilindro hiperbólico cortado por el
plano “yz”:...