historia

Apuntes de Matemática 5º año
Núcleo Común – Reformulación 2006
Unidad 1 − Geometría Analítica en el plano
Capítulo 1.3 − Posiciones relativas de dos rectas en el plano


Introducción
o Rectas coincidentes
o Rectas secantes
o Rectas paralelas, no coincidentes



Condición de paralelismo entre dos rectas



Condición de perpendicularidad entre dos rectas

Autores:
LauraSzwarcfiter Svarcas
Natalia Curbelo
Carlos Buela
Sergio Olivera Abadí

www.editorialcontexto.com.uy

Los autores agradecen a los lectores, todas las opiniones, sugerencias y aportes que
puedan hacerle llegar para mejorar el trabajo (autores@editorialcontexto.com.uy)

Editorial Contexto – 2009

Capítulo 1.3 − Posiciones relativas de dos rectas en el plano
Introducción
Dadas dos rectasen el plano, a las que llamamos coplanares, pueden cumplir:
a) que sean la misma recta y decimos que son rectas coincidentes.
b) que tengan un único punto en común y decimos que son rectas secantes.
a) que no tengan puntos en común y las llamamos paralelas no coincidentes, ya
que las rectas coincidentes también son paralelas.

fig. 1
rectas coincidentes

rectas paralelas
no coincidentesrectas secantes

Rectas coincidentes
Como expresamos anteriormente dos rectas cuyas ecuaciones son equivalentes son
la misma o sea que son coincidentes.
Ejemplo
Consideremos las rectas r y t tales que sus ecuaciones son r : 2x + 3y− 4 = 0 y
t : −4x − 6y + 8 = 0, estas ecuaciones representan la misma recta por ser
equivalentes. Por lo tanto podemos decir que las rectas r y t soncoincidentes.
Dos rectas son coincidentes si sus ecuaciones son equivalentes

Rectas secantes
Geométricamente sabemos cuando dos rectas son secantes, busquemos alguna
herramienta algebraica que permita saber cuándo dos rectas se encuentran en esta
posición relativa.
1
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Ejemplo
Consideremos las rectas r y s de ecuaciones r: 2x + y−1 = 0
s: −3x + 4y + 18 = 0
Las rectas r y s no son coincidentes porque sus ecuaciones no son equivalentes.
Observamos que el coeficiente de y de la primera ecuación debería multiplicarse
por 4 para obtener el coeficiente de y de la segunda, sin embargo si multiplicamos
por 4 el término independiente de la primera ecuación no obtenemos 18 que es el
término independiente de la segunda.
Silas rectas r y s son secantes, existe un único punto que pertenece a ambas, es
decir que existe un único valor de x y un único valor de y, coordenadas del punto,
que verifican las dos ecuaciones. Para hallar estos valores, resolvemos el siguiente
sistema de ecuaciones

2x  y  1  0

3x  4y  18  0
El lector puede resolver el sistema por cualquiera de los métodos estudiados en
añosanteriores, obteniendo como solución x = 2 , y = −3.
Verifiquemos que el punto P de coordenadas (2,−3) pertenece a las dos rectas.
r : 2x + y −1 = 0  2(2) + (−3) −1 = 4 − 3 − 1 = 0, verifica.
s : −3x + 4y + 18 = 0  −3(2) + 4(−3) +18 = −6 −12 + 18 = 0, cumple la
igualdad.
En conclusión, r  s  P / P(2,−3)
Dos rectas r y s son secantes si al resolver un sistema con sus ecuaciones seobtiene un único valor de x y un único valor de y, coordenadas de el único punto
de intersección.

Rectas paralelas, no coincidentes
Si dos rectas son paralelas no coincidentes, no tienen puntos en común. Esto
implica que si resolvemos el sistema determinado por sus ecuaciones, éste no debe
tener solución. Cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución se dice que el
sistema es incompatible.2
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Ejemplo
Consideremos las rectas r y s de ecuaciones r: −2x + y + 5 = 0
s: 6x −3y −2 = 0
Observemos primero que r y s no son rectas coincidentes porque sus ecuaciones no
son equivalentes.
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones para buscar puntos en común

2x  y  5  0

6x  3y  2  0
Multiplicamos...