Historia

Laboratori de ` ` Estatica i Dinamica

Din´ mica de la rotaci´ n a o Momento de inercia
Objetivo
Determinar los momentos de inercia de varios cuerpos homog´ neos. e

Material
Discos, cilindro macizo, cilindro hueco, barra hueca, cilindros ajustables a la barra, cuerda, polea, destornillador, cron´ metro, regla graduada, pie de rey. o

Fundamento te´ rico o
Momento de inercia
Cuando uns´ lido r´gido gira alrededor de un eje fijo realizando un movimiento plano, el momento o ı angular LO puede expresarse de la forma: LO = IO ω, (1)

donde ω es la velocidad angular del s´ lido r´gido e IO es el momento de inercia del s´ lido r´gido o ı o ı respecto al eje que pasa por O. El momento de inercia I representa la distribuci´ n de la masa del o s´ lido r´gido alrededor del eje. o ıDerivando la expresi´ n (1) con respecto al tiempo, obtenemos: o MO = IO α, (2)

donde MO es el momento de las fuerzas exteriores respecto del punto O y α es la aceleraci´ n angular o del s´ lido r´gido. o ı El c´ lculo anal´tico del momento de inercia se reduce a dividir el s´ lido r´gido en porciones infinitea ı o ı simales de masa, multiplicar esa masa por el cuadrado de la distancia al eje ysumar para todas las

R r

M

t=0

h m1
tf

Figura 1: Medida del momento de inercia del cilindro masas. Expresado en forma matem´ tica: a IO =
V

δ 2 dm,

(3)

donde δ es la distancia que separa el elemento de masa dm del eje que pasa por O y la integral se extiende a todo el volumen del s´ lido r´gido. El c´ lculo de momentos de inercia aplicando la o ı a expresi´ n (3) s´ lopuede llevarse a cabo cuando el s´ lido r´gido presenta gran simetr´a. En el caso de o o o ı ı cuerpos irregulares, la determinaci´ n de IO se lleva a cabo de forma experimental. o

Determinaci´ n del momento de inercia o
La determinaci´ n experimental del momento de inercia de un cuerpo puede llevarse a cabo mediante o un dispositivo como el mostrado en la figura 1. El cuerpo M, del que queremosdeterminar el momento de inercia, se halla fijado mediante un tornillo a una polea de radio r cuyo eje de rotaci´ n es o vertical. Sobre esta est´ arrollado un hilo inextensible y sin peso apreciable que pasa por otra polea ´ a cuyo eje de rotaci´ n es horizontal. En el otro extremo del hilo se encuentra un disco de masa m1 . o Cuando el sistema parte del reposo, el disco m1 realiza un movimientorectil´neo uniformemente ı acelerado, haciendo girar el cuerpo M alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa (rotaci´ n o baric´ ntrica). Llamando T a la tensi´ n del hilo, de la segunda Ley de Newton aplicada al cuerpo m1 e o tenemos: m1 g − T = m1 a. (4) En lo que al cuerpo de masa M se refiere, la unica fuerza que realiza momento respecto a su eje de ´ rotaci´ n, es la tensi´ n T .Empleando la expresi´ n descrita en (2), podemos poner: o o o T r = Iα. (5)

Obs´ rvese que la aceleraci´ n del disco m1 y la aceleraci´ n angular α del cuerpo no son independientes e o o entre s´. Entre ellas podemos establecer la siguiente ecuaci´ n de ligadura: ı o a = αr. (6)

Despejando la aceleraci´ n a de la expresi´ n (4), despejando la aceleraci´ n angular α de la expresi´ n o o o o (5) ysustituyendo en la ecuaci´ n de ligadura (6), obtenemos el valor de la tensi´ n T : o o T = m1 gI . I + m1 r 2 (7)

Obs´ rvese que la tensi´ n T es siempre inferior al peso m1 g. Sustituyendo la tensi´ n T en la expresi´ n e o o o (4), obtenemos el valor de la aceleraci´ n a: o a= m1 gr 2 . I + m1 r 2 (8)

Puesto que el movimiento del disco es uniformemente acelerado y parte del reposo, laaltura descendida h en un tiempo t puede expresarse de la forma: 2h 1 h = at2 −→ a = 2 . 2 t (9)

Sustituyendo la expresi´ n de la aceleraci´ n (9) en la ecuaci´ n (8) y despejando el momento de inercia o o o I, obtenemos: gt2 I = m1 r 2 −1 . (10) 2h La anterior expresi´ n nos permite conocer el momento de inercia I de un s´ lido r´gido si podemos o o ı determinar el tiempo que tarda el disco en...