historia

LA GACETA

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De la equivalencia matem´tica entre
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la Mec´nica Matricial y la Mec´nica Ondulatoria
a
a
por
Carlos M. Madrid Casado

First I was in G¨ttingen, then in Oxford and Cambridge.
o
Now I am suffering from indigestion caused by the endless
Heisenberg–Born–Dirac–Schr¨dinger sausage–machine–physics–mill.
o

Paul Ehrenfest en carta a Einstein del 26 de agosto de 1926

´Introduccion
Este pasado a˜o 2006 se han cumplido exactamente ochenta a˜os del “desn
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cubrimiento” o “invenci´n” por mano de Schr¨dinger de la equivalencia mao
o
tem´tica entre Mec´nicas Cu´nticas (1926-2006). Hist´ricamente, tanto los
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padres fundadores de la Mec´nica Cu´ntica (v´ase, por ejemplo, Schr¨dinger
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(1982, 46) o Heisenberg (1972, 90)) como prestigiososf´
ısicos cu´nticos (p. ej.
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Bohm (1989, 383)), fil´sofos e historiadores de la f´
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ısica (Jammer (1989, 271) o
S´nchez Ron (2001, 466)) han dado por supuesto que la equivalencia entre la
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Mec´nica Matricial de Heisenberg y la Mec´nica Ondulatoria de Schr¨dinger
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qued´ demostrada por el propio Schr¨dinger en su art´
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ıculo “Uber das Verh¨lta
nis derHeisenberg–Born–Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen” y,
simult´neamente, por Eckart en “Operator Calculus and the Solution of the
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Equation of Quantum Dynamics”, unific´ndose ambos modelos matem´ticos a
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partir de los trabajos de Dirac. Sin embargo, cuando se acude a tales art´
ıculos
y se estudian con gafas de historiador de la matem´tica, se detectan numerosas
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imprecisiones que invalidan la pruebade equivalencia. A nuestro entender, hay
que esperar hasta 1932 (¡¡seis a˜os despu´s!!) para encontrar la primera prueba
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consistente de equivalencia y la primera unificaci´n rigurosa de la Mec´nica
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Matricial y de la Mec´nica Ondulatoria en una Mec´nica Cu´ntica m´s unia
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versal y abstracta: nos referimos al tiempo en que von Neumann dio a conocer
su monumental obraMathematische Grundlagen der Quantenmechanik (por
cierto, libro traducido al espa˜ol antes que al ingl´s).
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La excepci´n que confirma la regla es Muller (1997a y 1997b), con el que
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reconocemos nuestra deuda, pese a distanciarnos en el enfoque de la cuesti´n:
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Muller no s´lo desenmascara la prueba de Schr¨dinger sino que niega que
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ambas mec´nicas fueran matem´tica y hasta emp´
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aıricamente equivalentes en
su tiempo, llegando a hablar de un “mito de la equivalencia”, mientras que
nosotros vamos a mantener que Schr¨dinger, efectivamente, fall´ en la demoso
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traci´n pero no en la conjetura de lo que hab´ que demostrar, y con ello dio
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HISTORIA

inicio a un proceso de clarificaci´n conceptual que cerrar´ la cuesti´n de la
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equivalencia pasado eltiempo.
La finalidad de este trabajo es doble. Por un lado, regresar en el tiempo
a la primavera de 1926 para aclarar c´mo realmente transcurri´ la b´squeda
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de equivalencia matem´tica entre Mec´nicas Cu´nticas. Por otro, arrojar luz
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sobre la aplicaci´n del An´lisis Funcional en la F´
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ısica Cu´ntica, haciendo honor
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a las palabras de Bohr (1964, 84): “en nuestradisertaci´n no consideraremos
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las matem´ticas puras como rama separada del conocimiento, sino m´s bien
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como un refinamiento del lenguaje com´n, al que proporcionan los medios
u
adecuados de enunciar relaciones para las cuales la expresi´n verbal ordinaria
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es imprecisa o embarazosa”. En definitiva, nuestro objetivo no es otro que
dilucidar la evoluci´n hist´rica de las matem´ticas de laMec´nica Cu´ntica2 .
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Las matematicas de la Mecanica Matricial
El origen heroico de la teor´ de los quanta se remonta al 14 de diciembre
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de 1900, cuando Planck present´ su ley de radiaci´n del cuerpo “negro” ante
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la Physikalische Gesellschaft. Su hip´tesis meramente formal de que la emisi´n
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y la absorci´n de energ´ s´lo toman lugar en porciones...