HISTOTIA DE LAS ECUACIONES


El Calculus apareció impreso, por primera vez, en una memoria de seis páginas de Leibniz, en el Acta Eruditorium de 1684, que contenía una definición de la diferencial y donde dio reglas sencillas para su cálculo en sumas, productos, cocientes, potencias y raíces (2). Leibniz incluyó también pequeñas aplicaciones a problemas de tangentes y puntos críticos. Desafortunadamente, este cortoinforme contuvo algunos errores, lo que contribuyó a que resultara enigmático a los matemáticos de la época.
En el continente, los hermanos Bernoulli fueron pioneros en el nuevo cálculo; precisamente Jean fue quien instruyó a L'Hópital, quien a su vez, preparó a
Huygens. Esta fue la atmósfera de entusiasmo que rodeó al nuevo cálculo al cerrar el siglo XVII. El mismo Jean, sobre 1691-1692, preparó dospequeños libros de textos, pero su publicación fue aplazada, y el que trataba sobre el cálculo integral apareció, finalmente, en 1742, y el cálculo diferencial, casi doscientos años después. Naturalmente, la atención, al inicio, se concentraba en las diferentes ecuaciones de primer orden. Su solución se buscaba en forma de funciones algebraicas o trascendentes elementales, con ayuda de métodos máso menos exitosamente elegidos. Para reducir este problema a la operación de búsqueda de funciones primitivas, los creadores del análisis y sus discípulos tendían en cada ecuación diferencial a separar las variables. Este método, con el que actualmente comienzan los textos sistemáticos de la teoría de ecuaciones diferenciales, resultó, al parecer, históricamente el primero. Es importante destacarque las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) surgen prácticamente con la aparición del Calculus. En la célebre polémica Newton-Leibniz se tiene un gran hito cuando Newton comunica (por medio de Oldenburg) a Leibniz el siguiente anagrama:

6a ce d ae 13e ff 7i el 9n 40 4q rr 4s 9t 12 v x
"Dada una ecuación con cantidades fluentes, determinar las fluxiones y viceversa". Este fue, como señalaArnold, el descubrimiento fundamental de Newton, que consideró necesario mantener en secreto, y el cual en lenguaje matemático contemporáneo significa:"Es útil resolver ecuaciones diferenciales". Curiosamente, Ince afirma que la fecha de aparición de éstas es el 11 de Noviembre de 1675, cuando Leibniz escribió la ecuación ∫ydy = y2/2 Por lo tanto, no habría resuelto una ecuación diferencial, la cualpor sí misma es un asunto trivial, sino que habría fraguado una herramienta poderosa, el signo de integral. La primera clasificación de las EDO de primer orden (en lenguaje de la época ecuaciones fluxiales) fue propuesta por Newton. El primer tipo estaba compuesto de aquellas ecuaciones en las cuales dos fluxiones x', y' y un fluente x o y están relacionados, como por ejemplo x' /y' = f(x) o x'/y' = f(y), o bien como escribiríamos en la actualidad dy/dx = f(x), dy/dx = f(y); el segundo tipo abarcaba aquellas ecuaciones que involucran dos fluxiones y dos fluentes x' /y' = f(x, y) (dy/dx = f(x, y)). Y, finalmente, el tercer tipo abarcaba a ecuaciones que involucran más de dos fluxiones, las cuales en la actualidad Conducen a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
Newton resuelvedos problemas principales:
1. Determinación de la velocidad del movimiento en un momento de tiempo dado. De otro modo: determinación de la relación entre las fluxiones dada la relación entre los fluentes.
2. Dada la velocidad del movimiento, determinación del espacio recorrido en un tiempo dado. En términos matemáticos: determinación de la relación entre los fluentes dada la relación entrefluxiones.
En la última década del siglo XVII los hermanos Bernoulli (James y Johann) introdujeron términos como el de "integrar" una ecuación diferencial, así como el proceso de "separación de variables" (separatio indeterminatarum) de una ecuación diferencial.
Alrededor de 1692, Johann Bernoulli 1 (1667~1748) encontró otro método, utilizado en una serie de problemas: la "multiplicación por un factor...