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EJERCICIOS
1.-Verifique si la transformación T : R2 ! R3 tal que T(x; y) = (x+y; y; x¡
y), es una transformación lineal.
Solución.
a) Sean v1 = (x; y), v2 = (p; q) 2 R2, entonces
T(v1 +v2) = T(x + p; y + q)
= ((x + p) + (y + q); y + q; (x + p) ¡ (y + q)
= ((x + y) + (p + q); y + q; (x ¡ y) + (p ¡ q))
= (x + y; y; x ¡ y) + (p + q; q; p ¡ q)= T(x; y) + T(p; q)
= T(v1) + T(v2)

b) Sean v = (x; y) 2 R2, k 2 R, entonces
T(kv) = T(kx; ky)
= (kx + ky; ky; kx ¡ ky)
= k(x + y; y; x ¡ y)= kT(x; y)
= k(Tv)

Así, T es una transformación lineal.

2.- Verifique si la transformación T : R2 ! R2 tal que T(x; y) = (x + y; x ¡
y + 2), es una transformación lineal.Solución.
Claramente T no es transformación lineal ya que T(0; 0) = (0; 2) 6= (0; 0).

Ejercicio 13.3. Verifique si la transformación T : M(n;R) ! M(n;R) tal que T(X) =
MX + XM donde M es una matriz¯ja en M(n;R), es una transformación lineal.
Solución.
a) Sean A;B 2 M(n;R) entonces:
T(A + B) = M(A + B) + (A + B)M
= (MA +MB) + (AM + BM)
= T(A) + T(B):

b) Sea A 2M(n;R), k 2 R entonces
T(kA) = M(kA) + (kA)M
= kMA + kAM
= k(MA + AM)
= kT(A):

Por a) y b), T es una transformación lineal.

3.-Sea T : R3 ! R3 unatransformaci¶on lineal tal que
T(1; 2; 0) = (3; 1; 0) ; T(0; 1; 2) = (1; 1; 1):
a) Determine T(x; y; z).
b) Determine T(1; 2; 3).

Solución.
a) Para determinar una transformación linealnecesitamos conocer la acción de ella
sobre una base, por lo tanto debemos agregar un vector a los dos vectores dados,
declarando su imagen.
Si agregamos el vector canónico (0; 0; 1) tal que, porejemplo, T(0; 0; 1) = (0; 0; 1)
entonces podemos expresar el vector genérico (x; y; z) como combinación lineal de la
base f(1; 2; 0); (0; 1; 2); (0; 0; 1)g.
Sea (x; y; z) = a(1; 2; 0) + b(0; 1; 2) +...