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Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca

UNIDAD IV: FUNCIONES EXPONENCIALES
En la asignatura de Matemática que usted aprobó en el primer semestre, estudió todos los conceptos básicos y propiedades de las funciones tanto Exponenciales como Logarítmicas, por lo que le recomiendo que revise todos los conocimientos adquiridos que le serán de gran utilidad. Además,en el texto guía en el capítulo cuatro, de la materia de cálculo se empieza enfocando cada uno de los temas de una manera muy didáctica para luego poder aplicarlos, se inicia con el estudio del álgebra de los exponentes, que no es más que una revisión de las propiedades de los exponentes, las cuales nos permiten operar.

A continuación vamos a hacer un breve repaso sobre las funcionesexponenciales. Si a es un número positivo diferente de 1 (a > 0, a ≠ 1), existe una función única denominada función exponencial, con base a, definida por:

f ( x) = a x para todo número real x. Definición de la función Exponencial natural: La inversa de la función logaritmo natural se llama la función exponencial natural y se denota por: f
−1

( x) = e x Esto es, y = e x si y sólo si x = In yPropiedades:

Para Memorizar: Características o propiedades generales de las Funciones Exponenciales. Si a >1, la función exponencial f(x) = ax tiene las siguientes propiedades: 1. 2. 3. 4. El dominio de f(x) = ax es (-∞,∞) y su recorrido o rango es (0, ∞). La función f(x) = ax es continua, creciente e invectiva en todo su dominio. La gráfica de f(x) = ax es cóncava hacia arriba en todo su dominio.El eje x es asíntota horizontal (por la izquierda) de la gráfica de f(x)= ax

Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”.

Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).

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Además,
x → −∞

lim a x = 0 y lim a x = ∞
x →∞

y

NOTA:

La función exponencial f(x) = a-x, con a >1, tiene las mismas propiedades excepto que su gráfica es decreciente y el eje x es asíntota horizontal por la derecha. Esto es:
x → −∞

lim a x = ∞ y lim a x = 0
x →∞

Las propiedades de la función exponencial natural son las mismas.Base exponencial natural e:

Hemos introducido las funciones exponenciales usando una base específica a. En el cálculo la elección conveniente (o natural) para la base es el NUMERO IRRACIONAL e, cuya aproximación decimal es 2,71828182846. Esta elección puede parecer cualquier cosa menos natural. Sin embargo, su conveniencia será patente en cuanto desarrollemos las reglas de derivación eintegración de funciones exponenciales. En el análisis de esas reglas manejaremos la siguiente definición de e: El número natural e se define como: l = lim (1 + x) x
x → −0
1

Se le recomienda al estudiante construir el gráfico de la función, para que se de cuenta que cuando "x tiende a cero", los valores de (1 +x)1/x tienden a e= 2.71828. En textos más avanzado se demuestra que este límite es el númeroe.

Aplicaciones Las dos aplicaciones que corroboran la utilidad de la BASE NATURAL e son: 1. El interés compuesto capitalizado, y, 2. El interés capitalizado continuamente.

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Estas propiedades se deducen directamente de su definición como inversa de la exponencial natural.

Derivación de funciones logarítmicas.

La derivada de la función logaritmo natural viene dada por el teorema que se detalla en el texto base y, por la utilización de la regla de la cadena para funciones logarítmicas,

Las propiedades de los logaritmos son...