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Apéndice A
Números complejos
Los números complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay
que calcular raíces cuadradas de números negativos.
Algo parecido les ocurrió a los pitagóricos al intentar medir la diagonal de un
cuadrado de lado 1, se dieron cuenta que no había ningún número (sólo conocían
los números naturales y fraccionarios) que midiese la diagonal. Estodio origen a
los números reales.
Los números naturales, enteros, fraccionarios y reales se pueden representar
como puntos de una recta (la recta de los números reales). Los números
complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (el plano de los
números complejos). En ese plano se pueden trazar ejes perpendiculares que nos
sirvan de referencia para localizar los puntos delplano. En la figura 1, se muestra
como se representa un número complejo z.
Lo habitual es utilizar las coordenadas del punto (x, y). Cuando se representa un
número complejo de esta forma se dice que está en forma cartesiana. Esta
interpretación de los números complejos se debe a Gauss y a Hamilton.
Real
Imaginaria
z = x + iy
θ
r
O x
y
Figura 1
También se suele utilizar un vectorpara localizar el punto, como se muestra en la
figura 1. En efecto, un vector con principio en el origen de coordenadas y fin en el
punto, identifica el punto de una manera inequívoca. Ahora bien, ese vector lo
podemos descomponer en dos vectores: un vector con principio en el origen de
coordenadas y terminación el valor de la abscisa del punto (x, y), y otro vector con
principio el origende coordenadas y terminación la ordenada del punto (x, y).
Ahora bien, si se definen vectores unitarios sobre el eje X y sobre el eje Y, se
puede representar el número de esta forma xr + yi. Los vectores r e i tienen Ingeniería Eléctrica. Apéndices
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módulo 1, además el vector i se define cumpliendo la condición: i
2
= -1. Cómo r
tiene módulo 1 y sus potencias también son 1, nose escribe, quedando por lo
tanto el número en la forma x + yi, donde x representa la parte real del número
complejo e y representa la parte imaginaria del número complejo. Véase la figura
1. Es decir
z = x + iy (1.1)
Una última forma de localizar el punto es dando la distancia (que se denota como
r) desde el punto al origen de coordenadas (medido sobre el segmento que une
los dospuntos) y el ángulo θ que forma el segmento con el eje X. En este caso, se
puede representar la posición del punto mediante (r, θ). Esta es la forma
trigonométrica de los números complejos.
La relación entre la representación cartesiana y la representación
trigonométrica
Representación cartesiana:
z = x + iy (1.2)
donde
x = rcosθ (1.3)
y = rsenθ (1.4)
Representacióntrigonométrica:
2 2
r = x + y (1.5)
-1
y
θ = tan
x
(1.6)
en forma abreviada
z = r θ (1.7)
a esta notación también se le conoce como notación fasorial.
La forma exponencial
La forma exponencial es otra forma de expresar un número complejo. Un número
complejo en forma polar se expresa como z = r(cosθ + i senθ). Si se sustituye el
contenido del paréntesis por la igualdad de Euler eiθ
= cosθ + i senθ, queda Ingeniería Eléctrica. Apéndices
154
iθ
z = re (1.8)
Complejo conjugado
Dado un número complejo (x, y) el complejo conjugado es (x, -y).
Si al número complejo se representa con z, el complejo conjugado se representa
con z
*
.
Complejo opuesto
Dado un número complejo (x, y) el complejo opuesto sería (-x, -y)
Si al número complejo lo representamos porz, el complejo opuesto se representa
por z’.
Norma
La norma del número complejo (x, y) es x
2
+ y
2
.
Módulo
El módulo del número complejo a = x + iy, se representa por |a| es la raíz
cuadrada de x
2
+ y
2
; es decir
2 2
a = x +y
Suma de números complejos
Para sumar (o restar) números complejos lo mejor es poner los números en forma
cartesiana
Forma...