hola

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TEORÍA INGENUA DE CONJUNTOS
Presentación
¿Porqué comenzar el curso de fundamentos por aquí? Antes de ensayar
alguna respuesta analicemos la definición de límite finito de una función. Una opción puede
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ser: lim f ( x)    E,  Ea ,  D f / x  Ea , f ( x)  E,
x a

No bien nos fijamos en ella con cierto detenimiento vemos que está
fuertemente “contaminada” deconceptos y notación propia de la teoría de conjuntos (los
entornos que son conjuntos de reales, la inclusión, la pertenencia…)
Lo mismo nos ocurrirá si analizamos casi cualquier proposición matemática
contenida en un libro o un curso posterior a 1950. Encontraremos que ellas se estructuran
alrededor de conceptos elementales de la teoría de conjuntos y que además utilizan la
notación conjuntista pararegistrarlos.
La teoría de conjuntos le ha brindado a la matemática un lenguaje sencillo,
preciso y elegante con el cual expresar las ideas más sofisticadas. Dicha teoría tal como la
conocemos hoy, es relativamente reciente. Data del principio del siglo XX. Le sugerimos
busque información al respecto.
Aclaremos que presentaremos una aproximación intuitiva a la teoría de
conjuntoshabitualmente denominada “teoría ingenua de conjuntos” El desarrollo formal de
dicha teoría en este momento, está fuera de alcance. La complejidad que tiene un
tratamiento estricto del tema excede largamente los requisitos y objetivos de este curso.
Introducción
Ya que vamos a conversar sobre conjuntos parece pertinente preguntarnos
en primer lugar: ¿Qué es un conjunto?
Podemos contestar “Un grupo deelementos” Frente a esta respuesta
tenemos derecho a preguntar ¿Y un grupo? A lo cual puede aparecer “Una colección” Y
podemos preguntar: ¿Y una colección? Contestando “ Una familia” ………..Seguramente en
algún momento diremos “Un conjunto” cerrando así el círculo vicioso.
Este hecho es inevitable si intentamos definir explícitamente todos los
conceptos con los cuales trabajaremos. Lo cual sise detiene a pensar, le debe haber
ocurrido al buscar palabras en un diccionario. Una palabra le conduce a otra, esa otra a una
tercera, …Hasta que al final vuelve a la primera palabra que buscó.
Para no caer en este círculo vicioso tomaremos algunos conceptos sin
definición explícita (los cuales suelen llamarse conceptos primitivos) y sí definiendo
explícitamente todos los otros conceptos dela teoría (estos últimos pueden denominarse
conceptos definibles).
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Al tratar con conceptos primitivos, podemos preguntarnos ¿Cómo trabajar con algo que no
aclaramos explícitamente que es? Permítaseme la siguiente imagen:
Referido al ajedrez, si nos preguntan: ¿Qué es una torre? No vamos a contestar que forma
tiene, ni de que material está construida, sino como se “mueve” Es más, sicambiamos la
ficha por una piedra y esta la movemos como una torre, es una torre. Con los conceptos
primitivos ocurre algo similar, quedarán caracterizados indirectamente por el resto de la
teoría.
En el caso de la teoría de conjuntos tomaremos como conceptos primitivos: conjunto,
elemento y pertenecer. El resto de los conceptos que aparezcan los definiremos
explícitamente.
Para empezar aconversar consideremos los siguientes conjuntos:
- A el conjunto formado por 6 y 8
- B el conjunto formado por a,b,c
- C el conjunto de los números naturales pares.
- D el conjunto de los naturales pares mayores que 5 y menores que 9
En primer lugar observemos que utilizamos dos estrategias diferentes para determinar
cada uno de los conjuntos (entendiendo por determinar brindar un criterioque nos permita
sin ambigüedad decidir si un elemento dado pertenece o no al conjunto). Para los dos
primeros nombramos todos y cada uno de sus elementos. Procedimiento que algunos
denominan determinación por extensión. En cambio para determinar los dos últimos
dimos una proposición que caracteriza al conjunto; en el sentido de que todo elemento del
conjunto verifica la proposición y...