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Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación
UNEFA – CHUAO

Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales

Profesor: Alumno:
Maximiliano Acosta Alejandro MaderoCI: 20792582

Caracas
Combinación Lineal de Vectores

Un vector  se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores  si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de  multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar  , de forma que:
.
Así,  es combinación lineal de vectores de  sipodemos expresar  como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de .

Ejemplo:  . Se dice que  es combinación lineal de  y de ,
porque podemos escribir  sin más que despejar la . De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.
En otras palabras, cuánto de cada vector del conjunto  necesito paraque, cuando se combinen linealmente dichos elementos, pueda formar al vector  en cuestión.

Vectores Linealmente Independientes

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente,mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Ejemplo:
¿Son los tres vectores siguientes independientes?

Buscamos tres valores x, y y z que satisfagan la ecuación:

Lo que equivale al sistema de ecuaciones siguiente:

Dado que la única solución es la trivial (x = y = z = 0), los tres vectores son independientes.

Dimensión de unEspacio Vectorial

Se define como el cardinal de una base vectorial para dicho espacio. Por el axioma de elección todo espacio tiene una base (incluso el espacio {0}, ya que el vacío es una base), y puesto que puede demostrarse que todas las bases vectoriales tienen el mismo cardinal, el concepto de dimensión está bien definido. Conviene notar que existen espacios vectoriales de tanto dedimensión finita como de dimensión infinita (el espacio vectorial de los polinomios de una variable, por ejemplo tiene dimensión.
La dimensión de un espacio coincide además con los dos cardinales siguientes:
El máximo número de vectores linealmente independientes de dicho espacio.
El mínimo número de vectores que forman un conjunto generador para todo el espacio.

Ejemplo:

* Dado un cuerpo , elconjunto:

satisface  .
* Todo conjunto con estructura de cuerpo  es un espacio vectorial sobre sí mismo de dimensión 1. Si se considera un subcuerpo  entonces el cuerpo original es un espacio vectorial sobre el subcuerpo. Si  es una extensión algebraica de  entonces la dimensión del cuerpo original sobre el subcuerpo es finita.
* El conjunto de matrices  es un espacio vectorial dedimensión n2.
* El espacio vectorial de los polinomios  tiene dimensión infinita sobre , concretamente,  .

Base de un Espacio Vectorial

Se dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones:
* Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V.
* Los elementos de B forman un sistema linealmente independiente.
* Todoelemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base B (es decir, B es un sistema generador de V).

Ejemplo:

El vector      expresado en la base    , siendo      y    , es:

de donde:

Las coordenadas del vector      en la base      son   -2 y 6.

Producto Escalar y Producto Vectorial de Vectores

Producto escalar: El producto interior o producto...