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Universidad Católica del Táchira
Facultad de Cs Económicas y Sociales
Escuela de Administración
Cátedra : Matemática I I Prof : Ing Rubén Darío Chacón L
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
MAXIMOS Y MINIMOS PARA FUNCIONES DE DOS
VARIABLES
( material recopilado solo para uso docente por Ing Rubén Darío Chacon L .
Noviembre de 2012)

Funciones de varias variables[Si a cada punto (x, y) de unaregión del
plano xy se la hace corresponder un número real z, diremos que z es una
función, z = f (x, y), de las variables independientes x e y. El lugar
geométrico de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen la ecuación z = f (x,
y) es una superficie. Análogamente se definen las funciones w = f (x, y, z,
...) de varias variables independientes aunque no tengan una interpretación
geométricasencilla. El estudio de las funciones de dos variables difiere
notablemente del de las funciones de una variable. Sin embargo, el cálculo
de las funciones de tres o más variables es muy similar al caso de dos
variables.
Derivadas parciales de una función de dos variables
Sea z = f (x, y) una función de las variables independientes x e y. Como x e
y son independientes, podremos (i) variar xmanteniendo constante y y, (ii)
variar y manteniendo constante x, (iii) variar x e y simultáneamente. En los
dos primeros casos, z es una función de una sola variable y se puede hallar
su derivada de acuerdo con las expresiones clásic as que ya hemos visto. Si
x varía permaneciendo constante y, z es una función de x y su derivada con
respecto a esta variable x,

se denomina primera derivadaparcial de z = f (x, y) con respecto a x.
Si lo que varía es y permaneciendo constante x, z es una función de y y s u
derivada con respecto a y

recibe el nombre de primera derivada parcial de z = f (x, y) con respecto
a y...
Las derivadas parciales anteriores admiten una interpretación geométrica
muy sencilla. Consideremos la superficie z = f (x, y) de la Fig. 56-1, y sean
APB y CPB lasintersecciones con dicha superficie de los planos que
pasando por P sean paralelos a los
xOz e yOz, respectivamente. Si hacemos variar a x permaneciendo
constante y, el punto P se desplazará a lo largo de la curva AP B y el valor
de z/x en el punto P es la pendiente de la curva APB en P.

Fig. -1.

Análogamente, si hacemos variar y permaneciendo constante x, P se
moverá a lo largo de lacurva CPD, y el valor de z/x en P es la pendiente
de la curva CPD en P
.
Máximos y Mínimos para funciones de 2 variables .Extenderemos ahora los conceptos de Máximos y Mínimos relativos ( o
extremos relativos ) para las funciones de dos variables.
Objetivo: Analizar máximos relativos y Mínimos relativos, encontrar
puntos críticos y aplicar la prueba de la segunda derivada para funcionesde
dos variables.
Definición : Se dice que una función z = ƒ(x) tiene un máximo relativo
en el punto
-2-

(X o;Yo) , esto es , cuando X = X o y Y = Y o , si para todo punto ( x,y
) en el plano que esté lo suficientemente cercano a ( Xo,Yo ) se tiene ƒ (
Xo,Yo ) ≥ ƒ (x,y)
En caso Contrario se dice que una función z = ƒ(x) tiene un mínimo
relativo en el punto( X o ; Y o ) , esto es ,cuando X = X o y Y = Y o ,
si para todo punto ( x,y ) en el plano que esté lo suficientemente cercano a
( Xo,Yo ) se tiene :
ƒ ( Xo,Yo ) ≤ ƒ (x,y)
Decir que Z = ƒ (x,y) tiene un máximo relativo en (Xo,Yo ) significa
geométricamente
que el punto ( Xo,Yo,Zo ) sobre la grafica de ƒ es mayor que ( o tan alto
como ) todos los otros puntos ( Xo,Yo,Zo ) “ cercanos “ sobre la
superficie..( figura 1a)En la figura 1 (b)
ƒ
tiene un máximo relativo en ( Xo,Yo)
Similarmente , la función
en la figura 1 (c) tiene un mínimo relativo
cuando X = Y = 0, el cuál corresponde a un punto bajo sobre la Superficie
generada
Figuras 1 a
Punto Mínimo ( Xo,Yo )

Punto Máximo en ( Xo, Yo )

-

3-

Fig 1 b – Fig 1c
Recuerde que para localizar los extremos de una función y = ƒ (x) de una variable...