Homework

3|0 dado que 0 = 3c cuando c = 0.
1| 5 puesto que 5 = 1×5
51 dado que 1 ≠ 5c para cualquier entero c.
Para cualquier entero a, a+ l | a2 - l. Ya que a2 - 1 = (a+ l)×k , con k = a - l.
Criterios de divisibilidad
A continuación damos algunos criterios de divisibilidad que facilitan la búsqueda de los factores primos.
Divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2 cuando termina encero o cifra par.
Divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3. Por ejemplo: 168351 es divisible por 3 pues 1 + 6 + 8+ 3 + 5 + 1 = 24, el cuál es múltiplo de 3.
Divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o en cinco.
Divisibilidad por 7
Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha,multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 7.
Veamos un ejemplo: ¿2401 es divisible por 7?
240_1 x 2 = 2, 240 - 2 = 238, 23_8 x 2 = 16, 23 - 16 = 7.
Entonces, 2041 sí es divisible por 7. Verifiquemos:
2401 / 7 = 343.
Divisibilidad por 11
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de losdígitos que ocupan un lugar impar, y la suma de los dígitos de lugar par, (puede ser de derecha izquierda ó inversamente es decir, que la diferencia pudiera dar negativa), es cero o múltiplo de 11.
Por ejemplo. Veamos si 94378 es divisible por 11:
9437, de derecha a izquierda:
Pares (subrayados): 4 y 7, 4 + 7 = 11
Impares: 9, 3 y 8, 9 + 3 = 12
Impares - Pares = 12 - 11 = 1, luego 9437 no esdivisible por 11. (Verifíquelo)
Divisibilidad por 13, 17 y 19
El método para investigar la divisibilidad por 13, 17 y 19 es similar al de la divisibilidad por 7, sólo que al separar la primera cifra de la derecha, ésta se multiplica por 9, 5 y 17 respectivamente; siendo un número divisible por 13, 17 y 19 si al final del proceso sobra un cero o un múltiplo de 13, cero o un múltiplo de 17, ceroo un múltiplo de 19.
Ejemplo. Investigar la divisibilidad de 1501.
Con 13:
150_1 x 9 = 9, 150 - 9 = 141, 14_1 x 9 = 9, 14 - 9 = 5, por lo tanto no es divisible por 13. 2
Con 17:
150_1 x 5 = 5, 150 - 5 = 145, 14_5 x 5 = 25, 14 - 25 = -11.
No es divisible por 17.
150_1 x 17 = 17, 150 - 17 = 133, 13_3 x 17 = 51, 13 - 51 = -38.
Si es divisible por 19. Verifiquemos:
1501 / 19 = 79.http://ommcolima.ucol.mx/guias/Numeros8ONMAS.pdf

Un número es divisible por 13 si multiplicando las unidades por 1, las decenas por -3, las centenas por -4, las unidades de millar por -1, las decenas de millar por 3, las centenas de millar por 4 y así sucesivamente, alternando los signos, y sumando los resultados el número resultante es divisible por 13
Vamos a demostrar el criterio dedivisibilidad por 13.
(an10n + an-110n-1 + ...+ a110 + a0) mod 13 =
an10n mod 13 + an-110n-1 mod 13 + ...+ a110 mod 13 + a0 mod 13 =
an mod 13 10n mod 13 + an-1 mod 13 10n-1 mod 13 + ...+ a1 mod 13 10 mod 13 + a0 mod 13
100 mod 13 = 1
101 mod 13 = -3
102 mod 13 = -4
103 mod 13 = -1
104 mod 13 = 3
105 mod 13 = 4
Así, supongamos el número: 6874259642754. Según la teoría de las clases residualesmod 7 con sus operaciones, tendríamos que multiplicar la cifra de las unidades por 1, la de las decenas por 3, la de las centenas por 2, la de las unidades de mil por 6 (o por –1), la de las decenas de mil por 4 (o por –3), la de las centenas de mil, por 5 (o por –2), y así sucesivamente.
¿No resultaría práctico disponer el número dividido en grupos de tres cifras y consideraralternativamente positivas las cifras del primero, negativas las del segundo, positivas las del tercero, etc. Y así multiplicaríamos:
La suma algebraica de las unidades de cada grupo, por 1,
La suma algebraica de las decenas de cada grupo, por -3,
y la suma algebraica de las centenas de cada grupo, por -4? Esta suma módulo 13 sería el resto.
Losa restos potenciales de 13 son 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, -3,...