homogeneas

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÈNEAS

Primeramente estudiaremos la forma en que podemos identificar si una ecuación diferencial es homogénea o no homogénea.
Supongamos que se nos pide determinarsi la ecuación.
Ejemplo:


METODO:
Para saber si es homogénea vamos a hacer que en la ecuación solo aparezca un tipo de variable, esto es, vamos llamar t a cualquier variable en la ecuación.Analizaremos término a término toda la ecuación (los signos de + o - son los que separan un término de otro). Una ecuación será homogénea cuando todos y cada uno de los términos tengan la variable televada a la misma potencia, si al menos un término no tiene t elevada a la misma potencia entonces la ecuación no es homogénea. Las constantes no se cambian por t. Los diferenciales no intervienen paradeterminar si es homogénea o no.
Checando el ejemplo tenemos como términos:

Si observamos todos los términos tienen t2, por lo tanto Si es Homogénea.
NOTAS:
1) Para Homogéneas solamente, siaparece como termino este sería t, es decir, se analizaría como la raíz cuadrada de cada uno. Solo se aplica esto para checar si es homogénea, ya que se checo la ecuación se trabajara con . Ejemplo:2) En caso de que aparezcan términos de funciones como: estos no representaran ninguna t ya que la variable sobre la variable seria igual a 1 con lo cual quedaría el termino como constante la cualno le corresponde t. Ejemplos:




Ejemplo en que la ecuación no es Homogénea:

Como en el tercer término no contiene t y los demás términos tienen t a la primera potencia, entonces laecuación No es Homogénea.

METODO PARA LLEGAR A LA SOLUCION GENERAL
1) Checar que la ecuación sea homogénea.
2) Utilizar la sustitución:

Si el coeficiente del dx es más sencillo que el de dy, seutiliza la sustitución x=vy y si el coeficiente del dy es más sencillo que el de dx entonces utilizaremos y=vx.
Si ambos coeficientes son del mismo grado de dificultad, podemos utilizar cualquiera de...