Homotecia Y Semejanza

Cap´ ıtulo 14 Homotecias
Vamos a considerar un conjunto de transformaciones del plano en si mismo que a diferencia de los movimientos del plano, en general, no conservan la congruencia de segmentos. Definici´n 14.1 Una homotecia es una transformaci´n del plano en s´ miso o ı mo tal que 1. una recta y su imagen son paralelas. 2. las relaciones de incidencia se preservan. Si una figura G es laimagen de una figura F en una homotecia, entonces diremos que G es homot´tica a F. e Es inmediato de la definici´n que, en una homotecia, si dos rectas son o secantes, sus homot´ticas tambi´n son rectas secantes y el punto com´n de e e u estas, es la imagen del punto com´n de aquellas. u Ejemplos de homotecias son 1. El moviminto identidad. 2. Las traslaciones. 3. Las simetr´ centrales. ıas Se verifica,f´cilmente, que estas transformaciones satisfacen las dos propiea dades que defininen una homotecia. 117

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CAP´ ITULO 14. HOMOTECIAS

fig 14.1 fig 14.2 ￿ Sean T una homotecia, A un punto en el plano y A , distinto de A, su imagen en la homotecia T . Sea r la recta AA￿ . Puesto que r contiene al punto A su imagen en la homotecia es una recta paralela a la recta r que pasa por el punto A￿ . Larecta r se transforma sobre s´ misma y, de nuevo, como las relaciones ı de incidencia se conservan, todo punto sobre la recta r se transforma en un punto sobre dicha recta. En una homotecia, una recta que pase por un punto y por su hom´logo es invariante. o Sean B un punto exterior a la recta r, y t la recta AB. La imagen B ￿ , del punto B se halla sobre la paralela a la recta t por el punto A￿ .Sea t￿ dicha paralela. Las rectas t y t￿ no tienen puntos en com´n, porque son paralelas y u ￿ porque A es distinto de A. Todo punto sobra la recta t tendr´ su homot´tico a e sobre la recta t￿ . Puede ocurrir que en la homotecia T , el segmento AB sea congruente con el segmento A￿ B ￿ . Si B ￿ se halla del mismo lado que B respecto de la recta r, la homotecia es la traslaci´n determinada por elvector AA￿ . o ￿ Si B se halla a distinto lado que B respecto de la recta AA￿ la homotecia es una simetr´ central. ıa Supongamos que los segmentos AB y A￿ B ￿ no son congruentes. Entonces las rectas r y s se cortan en digamos el punto O. O es exterior (interior) a los segmentos AA￿ y BB ￿ si los puntos B y B ￿ se hallan a un mismo lado (a distinto lado) de la recta AA￿ . En ning´n caso, O coincidecon A, A￿ , u B o B ￿ . Por ser las rectas r y s invariantes en la homotecia T , el punto O se transoforma sobre s´ mismo. Por ser O invariante en la homotecia, toda ı recta que pase por el punto O se transforma sobre si misma (se transforma en su paralela por el punto O). El punto O es el unico punto invariante en ´ la homotecia T . Si C es un punto distinto de O, su imagen C ￿ se halla sobre larecta paralela a la recta AC, por el punto A￿ . De nuevo, estas rectas no tienen punto en com´n, de modo que C y su imagen son puntos distintos. u ￿ Para hallar C , basta determinar la intersecci´n de la recta OC con la paralela o

119 a la recta AC por el punto A￿ . Diremos que el punto O es el centro de la homotecia T y que T es una homotecia de centro O. Todo punto del plano es imagen dealg´n punto del plano en una homoteu cia y dos puntos distintos tienen im´genes distintas. Por tanto las homotecias a son biyecciones del plano en s´ mismo. ı Por lo visto en el cap´ ıtulo c de propociones, la raz´n entre los segmentos o ￿ ￿ ￿ ￿ OA y OA, OB y OB A B y AB son todos iguales. Esto es, existe una constante k tal que OA￿ OB ￿ A￿ B ￿ k= = = OA OB AB En una homotecia de centro O, la raz´nentre un segmento a￿ homot´tico del o e segmento a es constante. A esta raz´n la llamaremos la raz´n de la homotecia. o o En el caso en que un segmento y su homot´tico son congruentes, k = 1. e En este caso, la homotecia puede coincidir con la transformaci´n identidad o o bien, como se mencion´ antes, puede ser una traslaci´n. Convendremos en o o que si la homotecia es tal, que el centro de...