Ibn Abi Zar
3
Sistemas de ecuaciones lineales
ACTIVIDADES INICIALES
3.I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.
2 x + y = 5
a)
4 x − 2 y = −2
2x + y = 0
b)
− 6 x − 3y = 0
2x + y = 5
c)
4 x + 2y = 7
2 x + y = 0
d)
5 x − 3 y = 0
a) x = 1, y = 3
b) x = λ, y = −2λ, λ ∈ R
c) Sistema incompatible
d) x = 0, y = 0
3.II. En cadacaso, escribe un sistema de ecuaciones cuya solución sea la señalada.
a) x = 3, y = −2
x = 1+ λ
b)
y = −2 − λ
c) x = −4 , y = 5
x = 4 − 3λ
d)
y = −1
x +y =1
a)
x − y = 5
x + y = −1
b)
2 x + 2y = −2
x + y = 1
c)
x + 2y = 6
x = 4 − 3λ
d)
y = −1, λ ∈ R
EJERCICIOS PROPUESTOS
3.1. Escribe en forma matricial los sistemas (indicatambién la expresión de las matrices ampliadas).
2 x + 2 y = 4
a)
x − 5y = 3
x1 − 2 x 2 + x 3 − x 4 = 3
c) 2 x 1 − x 2 − x 3 = 2
− x − x = 5
1
4
2 x + y − 2 z = 4
b) x − y = 0
3 x + 3 z = 5
2
2 x 4
2
2
=
; A* =
a)
1 −5
1 −5 y 3
4
3
1 −2
1 −2 x 4
2
2
b) 1 −1 0 y = 0 ; A* = 1 −1 0
3 0
3 0
3
3 z 5
4
0
5
x
1 −1 3
1 −1 1 3
1 −2
1 −2
2 −1 −1 0 x 2 = 2 ; A* = 2 −1 −1 0 2
c)
x
−1
−1 0 0 −1 5
0
0 −1 3 5
x
4
0
1 −1
1 −1 0
x
d) 2 −3 = 4 ; A* = 2 −3 4
y
1
1
1 1
1 1
2
3.2. Escribe de forma desarrollada el sistema:
2
x
−3 3 −1
y=
−1 0 2
z
2 x − 3 y + 3z = −1
2 x − y = 2
58
Solucionario
x − y = 0
d) 2 x − 3 y = 4
x + y = 1
3.3. Mediante el cálculo de la matriz inversa, resuelve los sistemas:
x − y + z = 0
b) 2 x + y + z = 2
x − 2 y − 2 z = −4
2 x − 3 y = −6
a)
4 x + 3y = 6
2
a) A =
4
−3
1
13
A −1 =
[ Adj( A)]t = 3
3
A
18
X = A−1B =
1 3
18 −4
1
0
1 −1
1
−4
b) A = 2
1
1 A −1 =
−10
1 −2 −2
−2
X = A −1B =
t
1 3
−4
=
2 18 −4
3
2
3 −6 0
=
x = 0, y = 2
2 6 2
t
5 −5 0
1
−3
1 =
−5
10
5
1 3
0
1
−5
10
5
4
2
3 −1
−1 −3
4
2 0 0
3 −1 2 = 1 x = 0, y = 1, z = 1
−1 −3 −4 1
4 x + 2y − z = 6
3.4. Dado el sistema de ecuaciones lineales: 2 x + 2 y + 3z = −4 , escribe sistemas equivalentes a él aplicando
3 x + 6 z = − 9
sucesivamente las siguientestransformaciones:
i) E3 →
1
E3
3
ii) E1 ↔ E 3
iii) E 2 → E 2 − 2E1
iv) E 3 → E 3 − 4E1
v) E 3 → E 3 − E 2
x + 2z = −3
x + 2z = −3
4 x + 2y − z = 6
4 x + 2y − z = 6
2x + 2y + 3z = −4 → 2x + 2y + 3z = −4 → 2x + 2y + 3z = −4 →
2y − z = 2
1
E1 ⇔E3
4x + 2y − z = 6 E2 =E2 −2E1 4x + 2y − z = 6
3x + 6z = −9 E3 = 3 E3
x + 2z = −3
x + 2z = −3
x + 2z = −3
→
→ 2 y − z = 2
2y − z = 2
E3 = E3 − 4 E1
E3 = E3 − E2
2y − 9z = 18
−8z = 16
3.5. Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, escribe la matriz de los coeficientes e
indica si son o no escalonados.
x + 2y + z = 4
a) y + 3z = 4
z = 3
x + y = 1
c) y + z = 1
x + z = 1
z = 3
b) 2 x+ 2 y − z = 4
3 y − z = 4
x + y + z = 3
y + z = 2
d)
z = 1
y + 2z = 3
1 2 1
a) A = 0 1 3 Sí es escalonado.
0 0 1
1 1 0
c) A = 0 1 1 No es escalonado.
1 0 1
2
b) Cambiando ecuaciones, A = 0
0
2
3
0
−1
−1 Sí es escalonado.
1
Solucionario
59
1 1 1
0 1 1
d) A =
No es...
Regístrate para leer el documento completo.