imvestigacion

ALGEBRA LINEAL
INVESTIGACION UNIDAD 4
“ESPACIOS VECTORIALES”




Panuco, Ver.a 26 de Noviembre del 2012
TEMAS A INVESTIGAR:
UNIDAD 4° ESPACIOS VECTORIALES
4.1.-Definicion de espacios vectoriales.
4.2.-Definicion de sub-espacio vectorial y sus propiedades.
4.3.-Combinacion lineal e independencia lineal.
4.4.-Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.4.5.-Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.
4.6.-Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schimidt.


4.1.-DEFINICION DE ESPACIOS VECTORIALES.
Las propiedades comunes de la aritmética matriz y vectorial. Se transforma en propiedades definitorias para un conjunto de vectores abstractos o generalizados, llamado espacios vectoriales.
Los conjuntos de matrices y devectores ordinarios son ejemplos de espacios vectoriales. También lo son una gran variedad de otros conjuntos.










4.2.-DEFINICION DE SUB-ESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES.
Es un subconjunto v no vacio de Rⁿ se llama (vectorial o lineal) de Rⁿ si satisface las siguientes propiedades.
1.- Si u y v esta en V, entonces U+V está en V.
2.-Si c es cualquier escalar y uesta en v, entonces cv esta en v.
La 1 se dice que S es cerrado bajo (o respecto a) la suma (vectorial) y la 2 se dice que S es cerrado bajo ( o respecto a) multiplicación por escalares. Así, un sub-espacio de Rⁿ es un subconjunto cerrado bajo la suma vectorial y la multiplicación por escalares.
Todo sub-espacio V de Rⁿ contiene al vector 0. (V es no vacio, de modo que tiene al menos unelemento, por ejemplo u. pero entonces 0u = 0 está en v según la parte 2).
Definición:
Un subconjunto de W se llama espacio un espacio vectorial v se llama sub-espacio de V si W por si mismo es un espacio vectorial bajo la suma y multiplicación por escalar tal como se define en v.

4.3.-COMBINACION LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL.
Se dice que un vector X de un espacio vectorial E escombinación lineal de los vectores de E si se puede expresar como

Donde los escalares reciben el nombre de coeficientes de la combinación lineal.
Ejemplo:
Comprobar si los vectores de son combinación lineal de y

Se dice que un conjunto de vectores de un espacio vectorial V es linealmente dependiente si hay escalares , no toidos cero, tales que
+...+ (4.1)

Se dice que eslinealmente independiente si no es linealmente dependiente. En otras palabra, la ecuación (4.1) implica que =












4.4.-BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE.
Espacios vectoriales: cambio de base, Muchas de las aplicaciones del álgebra lineal a la física, ingeniería, ciencias sociales, etc., pueden formularse de manera sencilla si se elige el sistema decoordenadas apropiado. También, los problemas de espacios vectoriales pueden simplificarse eligiendo una base adecuada. En la clase de hoy estudiaremos las coordenadas de un vector con respecto a una base fija, veremos que esas coordenadas cambian al cambiar la base del espacio y estudiaremos las relaciones que vinculan las coordenadas de un vector con respecto a diferentes bases.
Empezaremoscon un ejemplo; tomemos B = { (1,0,-1), (-1,1,0), (1,1,1) } como base de Â3 y w = (2,-3,4) un vector en Â3. Expresaremos w como combinación lineal de B
-¿porqué esto es posible para cualquier w en Â3?.
Es decir, queremos encontrar escalares a, b, g tales que

(2,-3,4)=a(1,0,-1)+b(-1,1,0)+g(1,1,1)
lo cual nos lleva al sistema de ecuaciones,
a - b+g = 2
b+g =-3
-a +g = 4, cuya matriz aumentadaes
-¿Puede eliminar algún vector de B y todavía escribir w como combinación lineal de ese subconjunto?En general tenemos el siguiente
Si (V,+,.) es un espacio vectorial de dimensión finita y B={v1, v2,...,vn} es una base de V, entonces para cada wÎV, existen escalares únicos a1, a2,...,an tales que w=a1v1+a2v2+...+anvn.
La existencia es debida a que una base es generadora del espacio y la...