Indroduccion a las ecuaciones diferenciales

C APÍTULO

1

Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales

E

n este primer capítulo se presentan las definiciones generales sobre ecuaciones en derivadas parciales (EDP) y se enuncia uno de los teoremas de existencia y unicidad básicos, debido a Cauchy y a Kovalevskaya. También se introducen los problemas de Cauchy y la noción de hipersuperficie característica y se dedica unasección a definiciones básicas sobre operadores diferenciales y problemas de EDP lineales asociados. 1. Definición de EDP. EDP lineales 2. Condiciones de contorno. Condiciones iniciales 3. Existencia local de soluciones de EDP 4. Problemas de Cauchy. Hipersuperficies características 5. Operadores diferenciales. Problemas lineales.

1.1. Definición de EDP. EDP lineales
En esta sección, tras unaintroducción de carácter general sobre números complejos y derivadas parciales, presentamos algunas de las EDP más relevantes en Física. Por último, analizamos como se transforman las EDP ante cambios de coordenadas.

1.1.1. Aspectos generales
Salvo mención de lo contrario siempre consideraremos funciones dependientes de un cierto número de variables reales y que toman valores complejos. Utilizaremosdos tipos de notación dependiendo de la situación.

Notación extendida Escribiremos u = u(x, y, . . . ) = u1 (x, y, . . . ) + i u2 (x, y, . . . ) para denotar una función que depende de las variables reales (x, y, . . .), que toma 1

números complejos

2

Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales valores complejos cuya parte real e imaginaria vienen dadas por Re u = u1 , Im u =u2 .

[Capítulo 1

Como números complejos, los valores de la función u pueden conjugarse y poseen módulo y argumento: ¯ u = u1 − i u2 , Es útil recordar que: ¯ |u|2 = uu,
números complejos, fórmulas de Euler

|u| = + u2 + u2 , 1 2

arg u = arctan

u2 . u1

u = |u| ei arg u .

Recordemos que en el álgebra de números complejos, dados a, b ∈ R, se tienen las fórmulas de Euler: ei b =cos b + i sen b, ea+i b = ea ei b = ea (cos b + i sen b).

derivadas parciales

Frecuentemente, en las aplicaciones en la Física, una de las variables a tener en cuenta es el tiempo t, así que en tales ocasiones denotaremos mediante (t, x, y, . . . ) a las variables de las que dependen nuestras funciones. Las derivadas de u, cuando existan, se obtendrán derivando las partes real e imaginaria deu y se denotarán como muestran los ejemplos siguientes: ut = uxx ∂u ∂u1 ∂u2 = +i , ∂t ∂t ∂t ∂2u ∂ 2 u1 ∂ 2 u2 = 2 = +i , 2 ∂x ∂x ∂x 2 ux = uxy ∂u ∂u1 ∂u2 = +i , ∂x ∂x ∂x ∂ 2 u1 ∂ 2 u2 ∂2u = +i = ∂x∂y ∂x∂y ∂x∂y

Supondremos siempre que las funciones que manejamos admiten derivadas hasta el orden requerido por las operaciones que debamos efectuar. En particular tal orden ha de ser suficiente paraque el resultado de una derivación múltiple sea independiente del orden en que efectuemos las derivaciones individuales. Por ejemplo:



uxxyxzy = uxxxyyz = uzxyxyx . Ejemplos 1. Sea u(x, y) = xy + i ex En este caso u1 (x, y) = xy, por lo tanto ¯ u = xy − i ex
2 +y 2 2 +y 2

.
2 +y 2

u2 (x, y) = ex

,

,

|u| = (xy)2 + e2(x

2 +y 2 )

Se calcula inmediatamente que ux = y + 2i xex
2 +y 2

, uxx = i(2 + 4x 2 )ex

2 +y 2

.

Ecuaciones Diferenciales II

§1.1] 2. Sea

Definición de EDP. EDP lineales

3

u(x, y) = exy+i(x Utilizando las fórmulas de Euler

2 +y 2 )

.

u = exy (cos(x 2 + y 2 ) + i sen(x 2 + y 2 )), luego u1 = exy cos(x 2 + y 2 ), |u| = exy , u2 = exy sen(x 2 + y 2 ),

arg u = x 2 + y 2 .

Así, las derivadas de primer orden son ux= (y + i 2x)exy (cos(x 2 + y 2 ) + i sen(x 2 + y 2 )),

uy = (x + i 2y)exy (cos(x 2 + y 2 ) + i sen(x 2 + y 2 )). Notación abreviada En una notación más compacta las funciones las escribiremos en la forma u = u(x) = u1 (x) + i u2 (x), donde x = (x0 , x1 , . . . , xn−1 ), denota un punto de Rn . Frecuentemente, aunque no siempre, la variable x0 será identificada con una variable tiempo t. Para...