Inducción Matemática

INDUCCIÓN MATEMÁTICA
El principio de Inducción Matemática es un método que se utiliza para
demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas. La
inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de
proposiciones, o una proposición que depende de un número “n” cualquiera que
toma una infinidad de valores enteros.
En términos simples, la inducciónmatemática consiste en el siguiente
razonamiento:
1) Comprobar que la propiedad o fórmula se cumple para algún valor
entero positivo “n”.
2) Supondremos que la proposición es verdadera para un numero natural
cualquiera k. (hipótesis)
3) Se demuestra que la proposición se cumple para n = k+1. (tesis)
Ejemplo:
Para todo n perteneciente a los números naturales se debe demostrar que
n(n+1) es unnúmero par.
1) n=1
2) n=k
3) n=k+1

n(n+1) = 1(1+1) = 1x2 = 2
se cumple.
n(n+1) = k(k+1)
se acepta.
n(n+1) = (k+1)((k+1)+1) = (k+1)(k+2) por demostrar.
(k+1)(k+2) = k2+2k+k+2 = k(k+1)+2(k+1) factorización.
Luego, (k+1)(k+2) es un número par

TEORÍA DE CONTEO
No es más que el método que nos proporciona información de todas las
maneras posibles que puede ocurrir en un evento. La teoría deconteo determina
sin enumerar directamente el número de resultados posibles de un experimento
particular o el número de elementos de un conjunto particular.
Principio fundamental de conteo.
Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras, y una vez que este ha
ocurrido, otro evento B puede ocurrir de n2 maneras diferentes, entonces el
número total de formas diferentes en que ambos eventos puedenocurrir en el
orden indicado, es igual a n1 x n2.

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10
personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?
Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden
recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas
para recibir el segundo, y posteriormentequedarán 8 personas para el tercer
premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios.
n1 x n2 x n3
10 x 9 x 8 = 720

Regla de la suma: si una primera tarea puede realizarse de m formas y
una segunda tarea puede realizarse de n formas, y no es posible realizar ambas
tareas de manera simultánea, entonces para realizar cualquiera de ellas pueden
utilizarsecualquiera de m + n formas.
Ejemplo:
Una biblioteca tiene 40 libros de historia y 50 de filosofía. Si un estudiante
quiere aprender acerca de alguno de estos dos temas, por la regla de la suma
puede elegir entre 40 + 50 = 90 libros.
Regla del producto: si un procedimiento se puede descomponer en dos
etapas y si existen m resultados posibles de la primera etapa, y para cada uno de
estos resultados,existen n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el
procedimiento total se puede realizar, en el orden dado, de m x n formas.
Ejemplo:
Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8 mujeres que aspiran a los
papeles principales. El director puede elegir a la pareja principal de 6 x 8 = 48
formas.

TEORÍA COMBINATORIA
La Combinatoria es una rama de las matemáticas cuyo objeto esestudiar
las posibles agrupaciones de objetos que podemos llevar a cabo de un modo
rápido teniendo en cuenta las relaciones que deben existir entre ellas.
Principio general.
Si un experimento puede realizarse de n formas diferentes y un segundo
experimento puede hacerlo de m formas diferentes; entonces los dos
experimentos juntos se pueden realizar de n.m formas diferentes.

•

Cardsignifica cardinal. Número de elementos del conjunto.

•

( A x B) significa producto cartesiano.
Ejemplo:

Ana tiene en su armario 6 camisetas, 9 pantalones de deporte y 8 pares de
zapatillas. Le gustaría no repetir sus vestimentas ningún día durante el curso.
Solución: 6 x 9 x 8 = 432 vestimentas diferentes.
Ejemplo:
Un conocido restaurante afirma que el cliente puede comer durante dos...