Induccion

CAPITULO 1

Progresiones
Este capitulo esta destinado a presentar contenidos y actividades que permitir´n al estudiante, verificar que a un conjunto de n´meros satisface las propiedades que definen a una progresi´n aritm´tica o geom´trica, y que u o e e en forma natural observe que el ordenamiento de los elementos de un conjunto en esta forma, permite generar un algoritmo para obtener r´pida yeficientemente cada t´rmino en forma independiente, y determinar la a e suma de sus elementos en cualquier instante. 1. Progresiones Aritm´ticas e Extenderemos las ideas de Peano aprovechando la operatoria que poseen los N´meros Reales (R), para u construir listados de estos n´meros que emulen el comportamiento de los n´meros naturales. u u Motivaci´n 1.1. Supongamos que una persona deposita 50.000pesos en un banco a un inter´s del 3% anual. o e [1] ¿Cu´nto dinero gana esa persona en un a˜o? a n 3 = 0.03 pesos entonces el inter´s total en e Como el inter´s que produce 1 peso en 1 a˜o es de e n 100 el a˜o es de 50.000 · 0, 03 = 1.500 pesos n Luego, la persona al cabo de un a˜o, posee en total la cantidad de 50.000 + 1.500 = 51.500 pesos n [2] ¿Cu´nto dinero gana esa persona en dos a˜os. Sideposita al segundo a˜o los mismos 50.000 pesos? a n n Al final del primer a˜o si se retiran los intereses, el capital sigue siendo el mismo: 50.000 pesos. n Luego, el capital vuelve a producir 1.500 pesos. As´ que en los dos a˜os el inter´s producido es de ı n e 1.500 + 1.500 = 3.000 pesos Luego, la persona al cabo de 2 a˜os, posee en total la cantidad de 50.000 + 3.000 = 53.000 pesos n a n n [3]¿Cu´nto gana a los t a˜os. Si cada a˜o retira los intereses.? La situaci´n hasta aqu´ es la siguiente o ı  Capital inicial : 50.000  Primer a˜o n : 51.500 =⇒ A = {50.000, 50.000 + 1500, 50.000 + 2 · 1500}  Segundo a˜o n : 53.000 A = {50.000, 50.000 + 1 · 1.500, 50.000 + 2 · 1.500, 50.000 + 3 · 1.500, . . . } Es decir, la constante del listado es fijada por las identidades ◦ (50.000 + (t + 1) · 1.500)− (50.000 + t · 1.500) = 1.500
1

S´ el proceso continua en el tiempo debemos tener un listado como el siguiente ı

(1)

2

1. PROGRESIONES

◦ 50.000 + t · 1.500 = 50.000 + [4] En general, si notamos a1 al capital inicial i=

3 3 · 50.000 · t = 50.000 1 + ·t 100 100

(t = 0, 1, 2, . . . )

r · a1 inter´s anual simple e 100

t tiempo en a˜os n Entonces el listado y laspropiedades que se intuyen son las siguientes 1. A = {a1 , a1 + i, a1 + 2i, a1 + 3i, a1 + 4i, . . . , } 2. ak = a1 + (k − 1)i, o bien, ak = a1 1 + (k − 1) r , para cada k = 1, 2, 3, . . . 100

3. La suma de los t primeros t´rminos, para cada t ∈ N e
t

St =
k=1

(a1 + (k − 1)i)
t t

= a1
k=1

1+i
k=1

(k − 1) Ver (??)

= a1 t + i =

(t − 1)t 2

t (2a1 + (t − 1) i) 2 t (a1 + at ) 23’. Equivalentemente, por nuestra definici´n tenemos, St = o

Definici´n 1.2. A = {a1 , a2 , a3 , · · · , } ⊂ R ser´ llamada una Progresi´n Aritm´tica. Si existe d ∈ R, tal o a o e que an+1 = an + d (∀m; m ∈ N); d se llama la diferencia de la progresi´n aritm´tica o e Ejemplo 1.2.1. Si definimos an = n ∈ N y d = 1 entonces A = {a1 , a2 , a3 , · · · , } = {1, 2, 3, · · · , } = N. Luego, N es unaprogresi´n aritm´tica, con diferencia d = 1 o e Ejemplo 1.2.2. A = {−1, −2, −3, −3, −7, · · · } es una progresi´n aritm´tica con a1 = −1 y d = −1 o e Ejemplo 1.2.3. A = √ 2, √ 1 √ + 2, 1 + 2, · · · 2 es una progresi´n aritm´tica con a1 = o e √ 2 y d= 1 2

Observaci´n 1.3. Del ejemplo 1.2.1, sabemos que o ◦ El t´rmino de orden o posici´n n en el listado es exactamente n. Es decir en un sistemagr´fico que e o a involucre a cada t´rmino versus su valor num´rico, tenemos que e e

´ 1. PROGRESIONES ARITMETICAS

3

valor del t´rmino e n 3 2 1 ◦ a1 a2 a3 an t´rmino e ◦ ◦ • • ◦

•

n

n

◦ La suma de los n primeros t´rminos es Sn = e f´rmula (??) o

ai =
i=1 i=1

i =

n(n + 1) , como lo obtuvimos en la 2

Sin embargo, en el ejemplo 1.2.3, no es tan claro: ◦ ¿Cu´l es...