Induccion

SOBRE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA

CARLOS S. CHINEA

SOBRE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA
1. 2. 3. 4. 5. 6. DEDUCCIÓN E INDUCCIÓN. LOS CONJUNTOS INDUCTIVOS. EL MÉTODO DE INDUCCIÓN. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL MÉTODO. LA INDUCCIÓN Y LA GEOMETRÍA. REFERENCIAS. -----oo0oo-----

1. DEDUCCIÓN E INDUCCIÓN Cuando emitimos una afirmación o proposición podemos intentar clasificarla en el conjunto de lasproposiciones generales, en donde interviene una afirmación del tipo de “para todo elemento de ...”, o bien en el conjunto de las proposiciones particulares en donde la afirmación se refiere “al elemento tal de ...”. De la certeza de una proposición general se puede pasar a la certeza de las correspondientes proposiciones particulares, y, al revés, de la certeza de una o varias proposicionesparticulares se puede pasar a la certeza de la correspondiente proposición general o generalización. El paso de un tipo de proposición a otra requiere un proceso de razonamiento lógico que en general se denomina deducción si se trata del paso de una proposición general a una o más proposiciones particulares, o inducción, cuando realizamos el paso de una o varias proposiciones particulares a una proposicióngeneral. Si decimos que “todos los números enteros pares son divisibles por 2” estamos exponiendo una proposición general, de la que es particularización, por ejemplo, la proposición “el número 246 es divisible por 2”. El proceso por el cual, conocida la verificación de la proposición general, inferimos que se verifica la proposición particular correspondiente, es lo que entendemos por deducción oproceso deductivo. Por otra parte, cuando desde la verificación de una o varias proposiciones particulares inferimos que se verifica una proposición general que las engloba, entendemos que estamos realizando un proceso de inducción o proceso inductivo. Si, por ejemplo, aceptamos como cierta la proposición general de que “todos los suecos son rubios”, la veracidad de la afirmación correspondiente ala particularización: “Gustav es sueco y por consiguiente rubio” es un proceso de

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MARCHENA, JUNIO 2003

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deducción. Evidentemente, la certeza depende de que sea cierta la proposición general de la que se ha partido. En cambio, el proceso contrario, en el que partiríamos de la veracidad de laafirmación “Gustav es sueco y rubio” no nos permitiría afirmar la veracidad de la proposición general “Todos los suecos son rubios”. Ni tampoco negarla. En general, pues, el proceso de inducción, por el que pasamos de una o varias afirmaciones particulares a una afirmación generalizadora, no es tan sencillo. ¿Cómo podríamos realizarlo de una forma segura?.

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2. LOS CONJUNTOS INDUCTIVOS: En la Axiomática de la Teoría de Conjuntos, en particular en el Sistema Axiomático de Neumann-Bernays-Godel-Quine (N-B-G-Q) se establece el Axioma de Infinitud:

(∃x )(Cx ∧ Inducx)
“Existe al menos un conj unto de clases inductivas, esto es, de clases tales que contener un elementoimplica contener a su elemento siguiente”. Tal familia es admitida, pues, como no vacía. Los números naturales pueden ser introducidos con un conjunto N de clase inductiva, como el mínimo conjunto inductivo. Se introduce el concepto de número ordinal y se prueba que cualquier número natural es un número ordinal. Peano (Giuseppe Peano, Cuneo-Piamonte, 1858 – Turín, 1932) introdujo los númerosnaturales mediante un sencillo teorema consistente en cinco afirmaciones denominadas Postulado de Peano o Axiomas de Peano para los números naturales, que permiten, pues, estructurar algébricamente el conjunto N. Así, puede definirse el conjunto N como un conjunto que verifica las siguientes c ondiciones axiomáticas: 1) Existe al menos un designaremos por 0. número natural, que llamaremos cero y...