Inducciones Matemáticas

Demostraciones
Probar por Inducción ∀n ∈ N

1) 2 + 4 + 6 +…+ 2n = n2 + n


P (1) cierto, ya que P (1) = 2
P (1) = 12 + 1 = 2

P (2) cierto, ya que P (2) = 2 + 4 = 6
P (2) = 22 + 2 = 6

P (k) ( Hipótesis inductiva
P (k) = k2 + k = k (k + 1) ( un número de veces k cualquiera por su sucesor, entonces:
P (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)P (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
P (k + 1) = (k + 1) 2 + k + 1

Si se cumple que n2 + n para todo número, entonces (k + 1) 2 + k + 1 debería ser igual a (k + 1) (k + 2). Entonces:

P (k + 1) = (k + 1) 2 + k + 1 = (k + 1) (k + 2)
= k 2 + 2k + 1 + k + 1 = k2 + 3k + 2
= k 2 + 3k + 2 = k2 + 3k + 2

Q.E.D

2) 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1)/ 2

Q (1)cierto, ya que Q (1) = 1
Q (1) = 1 ( 1 + 1) / 2 = 1
Q (2) cierto, ya que Q (2) = 1 + 2 = 3
Q (2) = 2 (2 + 1) / 2 = 3
Q (k) ( Hipótesis inductiva
Q (k) = k (k + 1) / 2
Q (k + 1) = P (n) / 2 , ya que n (n + 1) por definición es igual a la demostración P, conociendo entonces que P (n) es cierto, basta reemplazar:

Q (k + 1) = (k + 1) (k + 2) / 2
= k2 + 3k + 2 / 2Sabemos que k2 + 3k + 2 es cierto, y ½ es una constante, por lo tanto, Q (k + 1) es cierto.
Q.E.D




3) 12 + 22 + 32 + … + n2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6

S (1) es cierto, ya que S (1) = 13
S (1) = 1 (1 + 1) (2(1) + 1) / 6 = 1 * 2 * 3 / 6 = 1

S(k) ( Hipótesis inductiva
S (k) = k (k +1) (2k + 1) / 6

S (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1) [2(k + 1) + 1] / 6 = S (1) + (k + 1)2
S (k +1) = (k + 1) (k + 2) (2k + 3) / 6
S (k + 1) = (k2 + 3k + 2) (2k + 3) / 6
S (k + 1) = (2k3 + 9k2 + 13k + 6) / 6

Debe ser igual a:
S (1) + (k + 1)2 = [k (k +1) (2k + 1) / 6] + (k + 1)2
S (1) + (k + 1)2 = [ (k2 + k) (2k + 1) / 6] + k2 +2k + 1
S (1) + (k + 1)2 = [ (2k3 + 3k2 + k) / 6 ] + k2 +2k + 1
S (1) + (k + 1)2 = [(2k3 + 3k2 + k) + 6k2 +12k + 6] / 6
S (1) + (k + 1)2 = (2k3 + 9k2 + 13k +6) / 6
Q.E.D

4) 13 + 23 + 33 + … + n3 = [n (n + 1)/2]2

R (1) cierto, ya que R (1) = 13
R (1) = [1 (1 + 1)/ 2]2 = 1
R (k) ( Hipótesis inductiva
R (k) = [k (k + 1) / 2]2

R (k + 1) = [(k + 1) (k + 2) / 2]2
= [(k2 + 3k + 2) / 2]2
= (k4 + 3k3 + 2k2 + 3k3 + 9k2 + 6k + 2k2 + 6k + 4)/ 4
= (k4 + 6k3 + 13k2 + 12k + 4)/ 4

Debería ser igual a:
R (k) + (k +1)3 = [k (k + 1)/ 2]2 + (k + 1)3
= [(k2 + k) / 2] 2 + (k2 + 2k + 1) (k + 1)
= (k4 + 2k3 + k2) / 4 + k3 + k2 + 2k2 + 2k + k + 1
= (k4 + 2k3 + k2) / 4 + k3 + 3k2 + 3k + 1
= (k4 + 2k3 + k2 + 4k3 + 12k2 + 12k + 4) / 4
= (k4 + 6k3 + 13k2 + 12k + 4) / 4
Q.E.D




5) n2 + n es par
P (1) es cierto, ya que P (1) = 2 = par
P (1) = 12 + 1 = 2
P (k) ( Hipótesis inductiva

P (k) =k2 + k = k (k + 1) es un número par

P (k + 1) = (k + 1) 2 + k + 1
= k2 + 2k + 1 + k + 1
= k2 + 3k + 2

Si k es un número par, entonces para cualquier número par, k = 2x. Entonces = k2 + 3k + 2 debería ser una expresión par.

P (k + 1) = (2x)2 + 3(2x) + 2
= 4x2 + 6x + 2

Para cualquier valor de x, 4x2 y 6x son expresiones pares, ya que son factores de 2x.
Q.E.D



6)n3 + (n + 1) 3 + (n + 2)3 es divisible por 9

T (1) es cierto, ya que T (1) = 13 +(2) 3 + (3) 3 = 36

T (k) ( Hipótesis inductiva
T (k) = k3 + (k + 1) 3 + (k + 2)3

T (k + 1) = (k + 1)3 + (k + 1 + 1) 3 + (k + 1 + 2)3
T (k + 1) = (k + 1)3 + (k + 2) 3 + (k + 3) 3
T (k + 1) = (k + 1)3 + (k + 2) 3 + k3 + 9k2 + 27k + 27
T (k), es cierto

T (k + 1) = T (k) + 9k2+ 27k + 27
T (k + 1) = T (k) + 9(k2 + 3k + 3)
Q.E.D









7) a + b es un factor de a 2n - 1 + b2n - 1
Primero debemos dejar claro que (a+b) α = a 2n - 1 + b2n – 1 siendo α ≠ 0
Auxiliarmente demostraremos lo siguiente (a+b) α = a 2n - b2n α ≠ 0
Caso base: n=1, a 2 - b2 = (a+b)(a-b)
(a+b)(α) ,ok

Hipótesis inductiva

Asumimos que a 2n - b2n = (a+b)(α) => a 2(n+1) -...