Inecuaciones

Inecuaciones.

 Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numé¬ricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad,
 Por ejemplo:
 , etc. ...
 Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden ser ciertas o falsas, así, en los ejemplos:
 la primera es falsa, la segunda depende del valor que le demos a x, y la tercera es verdadera.
Las desigualdades en las que interviene una variable se denominan inecua¬cio-nes.
 Propiedades de las desigualdades:
 Se denominan también transformaciones de equivalencia.
 Suma: si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma cantidad o expresión algebraica, la desigualdad no varía:
•
 Producto: Si se multiplican a los dos miembros de una desigualdad por unacantidad positiva, la desigualdad no varia, pero si la cantidad es negativa, entonces cambia el sentido de la desigualdad:
•
• , si la cantidad es positiva se conserva el sentido original de la desigualdad.
 Simplificación: si se dividen los dos miembros de una desigualdad por una cantidad no negativa y distinta de cero, la desigualdad no varía:
•
• , si el divisor es negativo entoncescambia el sentido de la desigualdad.
 Inecuación: Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas llamadas miembros en las que aparece una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas.
 Una inecuación se verifica solo para algunos valores de las va¬riables.
 Los valores numéricos para los cuales se verifica la desigualdad son las soluciones de la misma.
 Resolver una inecuaciónconsiste en hallar los valores numéricos para los cuales la desigualdad es verdadera.
 Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen las mismas solucio¬nes.
 Para hallar inecuaciones equivalentes debemos aplicar los principios de equivalencia:
• Si sumamos o restamos a los miembros de una inecuación una misma cantidad o expresión algebraica, la inecuación que resulta es equivalente a ladada.
• Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecua¬ción por una misma cantidad positiva y no nula, la inecuación que resul¬ta es equivalente a la dada.
• Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecua¬ción por una misma cantidad negativa, la inecuación que resul¬ta es de sentido contrario a la dada.
• Ejemplos:
 , es una inecuación equivalente a la primera.
 ,operando nos queda, , que es equivalente a la dada, y por último , y de ahí pasaríamos a otras inecuaciones equivalentes hasta llegar a la solución, en este caso , que es la solu-ción, es decir, todos los valores de la variable meno¬res que catorce tercios.
 Inecuaciones de primer grado: son aquellas en las que las variables que intervienen están elevadas a un exponente igual a la unidad.
Inecuaciones de primer grado con una incógnita, tienen por ex¬presión general , y todas sus equivalentes.
.
 Ejemplos:
• E1.- , es decir, se cumple para todo valor de la variable x menor o igual que noventa y nueve cientonueveavos.
• E2.- , es decir, se cumple para todo valor de la variable estrictamente mayor que quince die-cisieteavos.
 Luego para resolver una inecuación se sigue unproceso similar al de resol¬ver ecuaciones.
 Método analítico:
 Para resolver una inecuación de primer grado, lo primero que hay que hacer es llegar a obtener la expresión general de una inecuación de 1er grado del apartado anterior aplicando los principios de equivalen¬cia y los fundamentos del cálculo en general:
 Quitar paréntesis si los hubiera. Para ello aplicar la propiedaddis¬tri-butiva del producto respecto a la suma.
 Quitar denominadores si los hubiera. Para ello reducir ambos miembros a co¬mún denominador.
 Reducir términos semejantes en ambos miembros.
 Pasar a un miembro los términos que contengan la variable y al otro los que no la contengan, y volver a reducir términos. (Aplicar los princi¬pios de equivalencia de inecuaciones)
 Despejar la variable. (Volver...