Inegral impropia

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Moisés Villena Muñoz

Cap. 4

Integrales Impropias

4
4.1 LÍMITES INFINITOS

OBJETIVOS



Calcular integrales impropias
Resolver problemas de aplicación relacionados
con lasintegrales impropias

69

Moisés Villena Muñoz

Cap. 4

Integrales Impropias

Ahora vamos a tratar regiones que están limitadas por curvas no
acotadas
4.1 LÍMITES INFINITOS
Este tipo de integralimpropia se presenta cuando se plantean integrales


de la forma





a

f ( x)dx ,

o de la forma



f ( x)dx ,

o también

f ( x)dx .

−∞

−∞

a



Es unaintegral impropia porque uno de los límites de integración o
ambos, no es una cantidad finita. En tal caso, para expresarla con
propiedad debemos hacer lo siguiente:



a

a



−∞

⎡N

⎢⎥
f ( x)dx = lím ⎢ f ( x)dx ⎥
N →∞


⎣a




⎡a



f ( x)dx = lím ⎢ f ( x )dx ⎥
N → −∞


⎣N




La última integral por la propiedad de aditividad se la trataría así:∞



−∞



a

f ( x)dx =



−∞

f ( x)dx +



f ( x)dx

a

Ejemplo 1
⎧y = e −x

Hallar el área de la región R : ⎨ y = 0 , en el primer cuadrante.
⎪x = 0
⎩SOLUCIÓN:
Dibujando las curvas dadas e identificando la región tenemos:

70

Moisés Villena Muñoz

Cap. 4

Integrales Impropias



El área de la región estaría dada por A =



e − x dx , lacual es una integral impropia, que escribiéndola con

0



propiedad tenemos: A =


0


⎡N

−x ⎥
e dx = lím ⎢ e dx ⎥
N →∞



⎣0



−x

Al calcular la integraldefinida y luego tomando límite resulta:


⎡N


−x
lím ⎢ e dx ⎥ = lím − e − x
N →∞
N →∞



⎣0



[

]

N
0

[

]

= lím 1 − e − N = 1 − e −∞ = 1
N →∞

2
En este casose dice que el área converge a 1 ( A = 1 u )

Ejemplo 2
1

⎪y =
x
⎪y = 0


Hallar el área de la región limitada por ⎨

;x ≥ 1

SOLUCIÓN:



El área de la región estaría dada por...
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