Inegral impropia
Páginas: 4 (842 palabras)
Publicado: 29 de agosto de 2012
Moisés Villena Muñoz
Cap. 4
Integrales Impropias
4
4.1 LÍMITES INFINITOS
OBJETIVOS
•
•
Calcular integrales impropias
Resolver problemas de aplicación relacionados
con lasintegrales impropias
69
Moisés Villena Muñoz
Cap. 4
Integrales Impropias
Ahora vamos a tratar regiones que están limitadas por curvas no
acotadas
4.1 LÍMITES INFINITOS
Este tipo de integralimpropia se presenta cuando se plantean integrales
∞
de la forma
∫
∞
a
f ( x)dx ,
o de la forma
∫
f ( x)dx ,
o también
f ( x)dx .
−∞
−∞
a
∫
Es unaintegral impropia porque uno de los límites de integración o
ambos, no es una cantidad finita. En tal caso, para expresarla con
propiedad debemos hacer lo siguiente:
∞
∫
a
a
∫
−∞
⎡N
⎤
⎢⎥
f ( x)dx = lím ⎢ f ( x)dx ⎥
N →∞
⎢
⎥
⎣a
⎦
∫
⎡a
⎤
⎢
⎥
f ( x)dx = lím ⎢ f ( x )dx ⎥
N → −∞
⎢
⎥
⎣N
⎦
∫
La última integral por la propiedad de aditividad se la trataría así:∞
∫
−∞
∞
a
f ( x)dx =
∫
−∞
f ( x)dx +
∫
f ( x)dx
a
Ejemplo 1
⎧y = e −x
⎪
Hallar el área de la región R : ⎨ y = 0 , en el primer cuadrante.
⎪x = 0
⎩SOLUCIÓN:
Dibujando las curvas dadas e identificando la región tenemos:
70
Moisés Villena Muñoz
Cap. 4
Integrales Impropias
∞
El área de la región estaría dada por A =
∫
e − x dx , lacual es una integral impropia, que escribiéndola con
0
∞
propiedad tenemos: A =
∫
0
⎤
⎡N
⎢
−x ⎥
e dx = lím ⎢ e dx ⎥
N →∞
⎥
⎢
⎦
⎣0
∫
−x
Al calcular la integraldefinida y luego tomando límite resulta:
⎤
⎡N
⎥
⎢
−x
lím ⎢ e dx ⎥ = lím − e − x
N →∞
N →∞
⎥
⎢
⎦
⎣0
∫
[
]
N
0
[
]
= lím 1 − e − N = 1 − e −∞ = 1
N →∞
2
En este casose dice que el área converge a 1 ( A = 1 u )
Ejemplo 2
1
⎧
⎪y =
x
⎪y = 0
⎩
Hallar el área de la región limitada por ⎨
;x ≥ 1
SOLUCIÓN:
∞
El área de la región estaría dada por...
Cap. 4
Integrales Impropias
4
4.1 LÍMITES INFINITOS
OBJETIVOS
•
•
Calcular integrales impropias
Resolver problemas de aplicación relacionados
con lasintegrales impropias
69
Moisés Villena Muñoz
Cap. 4
Integrales Impropias
Ahora vamos a tratar regiones que están limitadas por curvas no
acotadas
4.1 LÍMITES INFINITOS
Este tipo de integralimpropia se presenta cuando se plantean integrales
∞
de la forma
∫
∞
a
f ( x)dx ,
o de la forma
∫
f ( x)dx ,
o también
f ( x)dx .
−∞
−∞
a
∫
Es unaintegral impropia porque uno de los límites de integración o
ambos, no es una cantidad finita. En tal caso, para expresarla con
propiedad debemos hacer lo siguiente:
∞
∫
a
a
∫
−∞
⎡N
⎤
⎢⎥
f ( x)dx = lím ⎢ f ( x)dx ⎥
N →∞
⎢
⎥
⎣a
⎦
∫
⎡a
⎤
⎢
⎥
f ( x)dx = lím ⎢ f ( x )dx ⎥
N → −∞
⎢
⎥
⎣N
⎦
∫
La última integral por la propiedad de aditividad se la trataría así:∞
∫
−∞
∞
a
f ( x)dx =
∫
−∞
f ( x)dx +
∫
f ( x)dx
a
Ejemplo 1
⎧y = e −x
⎪
Hallar el área de la región R : ⎨ y = 0 , en el primer cuadrante.
⎪x = 0
⎩SOLUCIÓN:
Dibujando las curvas dadas e identificando la región tenemos:
70
Moisés Villena Muñoz
Cap. 4
Integrales Impropias
∞
El área de la región estaría dada por A =
∫
e − x dx , lacual es una integral impropia, que escribiéndola con
0
∞
propiedad tenemos: A =
∫
0
⎤
⎡N
⎢
−x ⎥
e dx = lím ⎢ e dx ⎥
N →∞
⎥
⎢
⎦
⎣0
∫
−x
Al calcular la integraldefinida y luego tomando límite resulta:
⎤
⎡N
⎥
⎢
−x
lím ⎢ e dx ⎥ = lím − e − x
N →∞
N →∞
⎥
⎢
⎦
⎣0
∫
[
]
N
0
[
]
= lím 1 − e − N = 1 − e −∞ = 1
N →∞
2
En este casose dice que el área converge a 1 ( A = 1 u )
Ejemplo 2
1
⎧
⎪y =
x
⎪y = 0
⎩
Hallar el área de la región limitada por ⎨
;x ≥ 1
SOLUCIÓN:
∞
El área de la región estaría dada por...
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