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Definición de Derivada
Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente no se puede hallar directamente la pendiente de la recta de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos las rectas tangentes por rectas secantes. Cuando tomemos ellímite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de las rectas tangentes.
Para obtener estas pendientes, tomemos un número pequeño que llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (x . f (x)) y (x + h, f(x + h)) es

Esta expresión es un cociente diferencial deNewton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:

Si la derivada existe en cada punto x, podemos definir la derivada de f en el punto x es la derivada de f en x.
Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero, una técnica es simplificar el numerador de modo que la (h)del denominador pueda ser cancelada. Esto es muy sencillo con funciones polinomicas para estas hay reglas generales que facilitan la diferenciación de la mayoría de las funciones descritas

EJEMPLOS: 1
| |
Entonces:
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| |
Esta función es constante, para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5).
Ejemplo 2
Consideremos la gráfica de
| |
:
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| || |
| |
La derivada de f(x) (tal como la definió Newton) se describió como el límite, conforme h se aproxima a cero. Una explicación alternativa de la derivada puede ser interpretada a partir del cociente de Newton.

DERIVADA COMO FUNCION
Una función continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos pequeños en la variable dependiente a pequeños incrementos delos elementos del dominio de dicha
Función, es decir, y usando la expresión Δy + y = f(Δ)
Para derivar una función es necesario aplicar la regla del producto que dice:
Definición 1:
da como resultado, la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, +, la derivada de la segunda funcion por la primera sin derivar. Eje:Derivando:

Por, regla del producto:

Desarrollar:

Da como resultado, la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, -, la derivada de la segunda función por la primera sin derivar, todo esto dividido la segunda función al cuadrado
La derivada de una función puede a su vez ser diferenciable, hablándose entonces de segunda derivada de la función como la derivada de la derivadade ésta
A partir de la segunda derivada: hasta la enésima derivada: reciben el nombre de Derivada de Orden Superior.
La notación más simple para la diferenciación que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange de esta manera se expresan las derivadas de la función f (x) en el punto x = a, se escribe:
Para la primera derivada
Para la segunda derivada,
Para la tercera derivada, y luegode forma general,
Para la n-ésima derivada (donde normalmente se da que n > 3).
Para la función cuyo valor en cada x es la derivada de, se escribe en forma similar, para la segunda derivada de f se escribe, y así sucesivamente.
La otra notación común para la diferenciación se debe a Leibniz Para la función cuyo valor en x es la derivada de f en x, se escribe:

Se puede escribir laderivada de f en el punto a de dos formas distintas:

Si la resultante de f(x) es otra variable, por ejemplo, si y=f (x), se puede escribir la derivada como:

Las derivadas de orden superior se expresan así
o

La derivada de una constante por una función es igual producto de la constante por la derivada de la función

DERIVADA DE POLINOMIO
Para derivar un polinomio es necesario establecer...
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