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Unión de conjuntos


La unión de los conjuntos A y B es otro conjunto A ∪B que contiene todos los elementos de A y de B.
En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operaciónque resulta en otro conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de losnúmeros pares positivos P y el conjunto de los números imparespositivos I:
P = {2, 4, 6, ...}
I = {1, 3, 5, ...}
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo, N =P ∪ I.
Índice
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1 Definición
1.1 Generalizaciones
2 Propiedades
2.1 Cardinalidad
3 Axioma de la unión
4 Referencias
5 Véase también
Definición[editar]
Dados dos conjuntos A y B, launión de ambos, A ∪ B, es el conjunto que contiene todos los elementos de A y de B:
La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B cuyos elementos son todos los elementos de A o de B:



Unión de dos conjuntos A y B.
Ejemplo.
Sean A = {a, ♠, 5} y B = {8, #}. La unión es A ∪ B = {5, #, a, ♠, 8}.
Considerando los conjuntos de números naturales C = {n: n es un número primo} y D ={m: m es un número compuesto}. La unión es entonces (C ∪ D) = {n: n es primo o compuesto} = {2, 3, 4, 5, ...}, ya que el único número natural que no es ni primo ni compuesto es (por definición) 1.
En la unión de conjuntos, los elementos repetidos sólo aparecen una vez, pues los conjuntos no pueden tener elementos repetidos:n 1
La unión de {1, 2, 3, 4, 5} y {6, 2, 9, 1} es {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}.Generalizaciones[editar]
Es posible definir la unión de un número finito de conjuntos, superior a dos:
La unión de una colección finita de conjuntos A1, ..., An es el conjunto que contiene todos los elementos de cada conjunto en dicha colección:

Y esta se puede calcular utilizando la propiedad asociativa de la unión de dos conjuntos (más abajo). De este modo, para unir varios conjuntos el orden enel que se haga es irrelevante:

Una definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos:
Sea M una familia de conjuntos. Su unión ∪M se define como:

Esta definición coincide con las anteriores en el caso de una familia finita de conjuntos:
A ∪ B = ∪M, donde M = {A, B}
A1 ∪ ... ∪ An = ∪M, donde M = {A1, ..., An}
La unión general de conjuntos se denota dediversas maneras:

donde esta última se aplica en el caso de que se utilice un conjunto índice, tomando M como {Ai: i ∈ I}.
Propiedades[editar]
Artículo principal: Álgebra de conjuntos.
De la definición de unión puede deducirse directamente:
Idempotencia. La unión de un conjunto A consigo mismo es el propioA :
A ∪ A = A
Tanto A como B son subconjuntos de su unión:
A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B
Launión de un conjunto A con un subconjunto suyo B lo deja inalterado:
B ⊆ A implica que A ∪ B = A
La unión de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:
Propiedad asociativa. La unión de los conjuntos A y B ∪ C es igual que la unión de los conjuntos A ∪ B y C :
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Propiedad conmutativa. La unión de los conjuntos A y B es igual a la uniónde los conjuntos B y A :
A ∪ B = B ∪ A.
Elemento neutro. La unión de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es el mismo conjunto A:
A ∪ ∅ = A
Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la disyunción lógica.
En relación con la operación de intersección existen unas leyes distributivas:
Propiedad distributiva
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), y por tanto:
A ∪ (A ∩ B) = AA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y por tanto:
A ∩ (A ∪ B) = A
Cardinalidad[editar]
Artículos principales: Principio de la suma y Principio de inclusión-exclusión.
El número de elementos de la unión de dos conjuntos finitos A y B es la suma de los elementos de A y de B, si no tienen elementos en común.
Si A y B son conjuntos disjuntos:

Como en un conjunto los elementos no pueden...