Informatica

C´lculo diferencial e integral a

Colecci´n de problemas o
Fecha unica de entrega de la colecci´n de problemas: ´ o Lunes 17 de diciembre de 2012 a las 9:00 horas. Indicar nombre y dos apellidos.Todos los ejercicios se valorar´n sobre 0,2 puntos salvo el problema 6 que se valorar´ sobre a a 0,5 (0,1 cada apartado). Puntuaci´n total: 1,5 puntos. o Los ejercicios deben ser resueltos de formaindividual. Si se encuentran evidencias de que dos o m´s alumnos han intercambiado informaci´n, autom´ticamente la puntuaci´n de esos a o a o alumnos en esta prueba ser´ cero puntos. a Todos losejercicios deben estar correctamente resueltos. Los ejercicios con soluciones err´neas o sin soluci´n se puntuar´n con cero puntos. o o a La correcta soluci´n de los ejercicios debe ser acompa˜ada por unargumento correcto y o n bien redactado. Los ejercicios cuya soluci´n no se argumente o cuyo argumento se o encuentre mal redactado se puntuar´n con cero puntos. a 1. Calcular: tg
n→∞

l´ ım

π π ππ + tg + tg + . . . + tg 2 3 4 n ln(n)

2. Dada la serie de t´rmino general: e an = demostrar que es convergente y sumarla. 3. Sabiendo que a ∈ [0, 1] y n ∈ N, encontrar los posibles valores de a y npara los cuales se verifica: 2 sen(tan2 (nx))(1 − eax ) l´ ım =8 x→0 ln(cos(ax2 )) n3 n + 12 + 5n2 + 6n

1

4. Estudiar la continuidad de la funci´n f : R2 −→ R dada por: o   2x4 + x2 y 2 + 5xy3 − y 4  (x, y) = (0, 0)  x2 + y 2 f (x, y) =    0 (x, y) = (0, 0) 5. Calcular el siguiente l´ ımite: 1 + sen x − ex x→0 arctan2 x l´ ım                   ln    se pide: a)Estudiar la continuidad de la funci´n. o b) Estudiar la derivabilidad de la funci´n, calculando su derivada en los puntos en que o est´ definida. e c) Calcular: l´ f (x), l´ f (x) y l´ f (x). ım ım ımx→1 x→−∞ x→∞

6. Dada la funci´n o

x+6 x2 1 |x| x−1 2x + 1

si x ∈ (−∞, −2] si si si x ∈ (−2, −1] x ∈ (−1, 1] x ∈ (1, ∞)

f (x) =

d ) Encontrar los intervalos de crecimiento y...